以l为周期的函数的展开式.PDFVIP

第十五章 傅里叶级数 §2 以 为周期的函数的展开式 《数学分析》电子教案 2l 2l §2以 为周期的函数的展开式 【教学目的】掌握以 为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，余弦级数 2l 【教学重点】以 为周期的函数的展开式 2l 【教学难点】对函数作相应的奇式或偶式延拓进行傅里叶级数展开 在上节提到的收敛定理中，我们假设函数 是以 为周期的，或是定义在 上然后作以 为 f 2π (−π,π] 2π 周期延拓的函数．本节讨论以 为周期的函数的傅里叶级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级数展开式． 2l 一 以2l为周期的函数的傅里叶级数 设 是以 为周期的函数,通过变量置换 f 2l πx lt = t或 x= l π lt 可以把 变换成以 为周期的 的函数 ．若 在 上可积，则 在 上也可积， f 2π t F(t) = f( ) f [−l,l] F [−π,π] π 这时函数F的傅里叶级数展开式是： ∞ a F(t) ~ 0 + ∑(a cosnt+ b sinnt), (1) 2 n=1 n n 其中 1 π a = F(t)cosntdt,n= 0,1,2⋯, n ∫−π π (2) 1 π b = F(t)sinntdt,n=1,2,⋯. n ∫−π π πx lt 因为t= ,所以F(t) = f( ) = f(x)．于是由(1)与(2)式分别得 l π ∞ a nπx nπx