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广州市铁一中学2008学年下学期期末 高二数学（理科）考试答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B C A B C C C C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 12. 13. 14. ， 三、解答题（本大题共6小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 解：（）， 两边同时平方得 . ………………………………………（4分， 所以. …………………………（6分（），， 所以，得. …………………………（8分,知. …………………（9分） …………………………（10分.…………………………………（12分） 16. 解：（1）由题意得， 列表略 因此 （2）第二小组第次试验成功，前面次试验中有次失败，因此所求概率 （每个计算结果各两分） 17. 解：（I）由三视图可得，三棱锥A—BCD中 都等于90°， 每个面都是直角三角形； 可得面ADB，所以……2分 又，所以面ABC， 所以DEAC， 4分 又DFAC，所以AC面DEF。 6分 （II）方法一：由（I）知为二面角B—AC—D的平面角， 7分 在直角三角形DEF中， 11分 12分 14分 （其它解法请参照给分） 方法二：过B作CD于O， 过O作OMAC于M，连结BM， 因为AD面BDC，所以ADC面BDC。 所以BO面ADC， 由三垂线定理可得为二面角B—AC—D的平面角， 9分 可求得 所以， 所以 12分 方法三：如图，以DB为x轴， 过D作BC的不行线这y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系。 所以 8分 设面DAC的一个法向量为， 则 则 设面BAC的一个法向量为， 则 则 10分 所以， 因为二面角B—AC—D为锐角， 所以二面角B—AC—D的大小为 12分 18. 解： （Ⅰ）依题意，销售价提高后为6000（1+）元/台，月销售量为台…2分） 则 ……………………（4分） 即． ……………………（6分） （Ⅱ） 令，得， 解得舍去）． ……………………（9分） 当 当……………………（11分） 当时，取得最大值． 此时销售价为元． ……………………（13分） 答：笔记本电脑的销售价为9000元时，电脑企业的月利润最大．…………（14分） 19．．解（I）设 (均不为), 由 ∥ 得, 即 ……………………（2分） 由∥得,即 得 …………（4分） 动点的轨迹的方程为 ……………6分 （II）由（1）得的轨迹的方程为，, 设直线的方程为,将其与的方程联立,消去得 设的坐标分别为 解法一：,即……9分 又 , . 可得……………11分 故三角形的面积, 因为恒成立，所以只要解. ……………13分 即可解得. ……………14分 解法二：，……………7分 ，（注意到）……………8分 又由()式有，，……………9分 三角形的面积（以下解法同解法一） 20．（本小题12分） Ⅰ）解: 由，得 ，. …………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）归纳得， ………………………5分 用数学归纳法证明: ①当时，成立. ………………………6分 ②假设时，成立，………………………7分 那么 所以当时，等式也成立. 由①、②得对一切成立. …………10分 （Ⅲ）证明: 设，则， 所以在上是增函数． 故． 即． ………………………12分 因为， 故． =.…………14分 广州市铁一中学2008学年下学期期末高二数学（理科）答案 第5页（共6页）