Ch6解非线性方程数值的方法.docVIP

Ch6. 解非线性方程的数值方法 §1. 二分法 若设，且，则在内至少有一根。 令为的中点，若，则内有根，否则内有根。类似地进行步之后，设有根区间为， 则，可取为的近似根，显然误差。 特点 。 §2. 迭代法 1. 迭代格式 对非线性方程，给定一个初值，按照某种方法产生一个序列，使得，且。 例1 求方程在附近的根。 解 将方程改写为，据此建立迭代公式。 迭代结果见下表： k k 0 1.5 5 1.32476 1 1.35721 6 1.32473 2 1.33086 7 1.32472 3 1.32088 8 1.32472 4 1.32494 1.32472 将方程改写为，得迭代公式，迭代结果为 k 0 1 2 3 1.5 2.375 12.3965 1904.01 迭代序列发散。 2. 收敛性与误差估计 定理1 若(1)对任意，有(压缩映射)；(2)存在正数，使对任意，有(Lipschitz条件)，则对任意，迭代序列收敛于的唯一根，且有误差估计式 。 证 令，则由，得，且。 若，则即为的根，否则由零点定理，在内至少有一根，故在上至少有一根。（存在性） 若有两个根，即，从而有 ， 矛盾，故。（唯一性） 。 由于，，故 即。（收敛性） 。 ，得。 令，则有。 3. 局部收敛性与局部收敛定理 定义1 若存在的某个邻域，使迭代公式对任意均收敛，则称此迭代在附近具有局部收敛性。 定理2 若在附近连续，且，则迭代公式在附近具有局部收敛性。 证 因为在附近连续，且，由连续函数性质，在附近成立，从而。 根据定理1，迭代在附近具有局部收敛性。 4. 收敛速度与收敛阶 定义2 设迭代公式收敛于的根，如迭代误差 满足，则称为p阶收敛。 定理3 对迭代公式，若在附近连续，且 ，，则迭代在附近是p阶收敛的。 证 因为，由定理2，迭代局部收敛。 将在处Taylor展开，则 ，即， 得，从而迭代在附近p阶收敛。 5. 迭代公式的加工 由定理3，，故对充分大的，，可解出。 由此可将转化成一个新序列，此类处理方法称为Aitken加速方法。 将代入即得一个新的迭代： 。 习惯上写成下列形式： 。 §3. 牛顿法（切线法） 1. 迭代格式 设为根的近似值，由Taylor公式 。 若，则，略去最后一项后作为新的近似值，即，称之为牛顿公式。 2. 牛顿法的几何意义 如图，作曲线在处的切线， 。令，即为此切线在轴上的截距。 3. 牛顿法的收敛性 设为的单根，即，此时， ，故在 的某邻域内，从而。由定理2，牛顿法对附近的初值收敛，即局部收敛。再由定理3知，牛顿法为二阶收敛的。 例2 用牛顿法求的一个根。 解 ，取初始值为，迭代结果见程序。 例3 应用牛顿法于方程，导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。 解 ，。 因，即有下界。 又，即单调下降，故收敛。 例4 对于的牛顿公式，证明 收敛到，其中为的根，具有二阶连续导数。 证 。 由 ， 得， ，所以。 例5 应用牛顿法于方程和，分别导出求的迭代公式，讨论迭代公式的收敛性，并求。 解 牛顿公式为。 因，即有下界。 又，即单调下降，故收敛。 。 《数值分析》 第六章 解非线性方程的数值方法 1