最值一题十种解法.docVIP

最值一题的十种解法 吉林市第三中学 郝勇涛 132227x，y满足x2+y2=1。求的最大值与最小值。 想法1：从已知上看，x2+y2=1，易联想到sin2θ+cos2θ=1，可进行三角换元，代入， 从而利用三角函数的有界性求解。 一、三角换元法 解法1：由x2+y2=1，可令 则z== 可得zcosθ―zsinθ+2z= cosθ+sinθ+2 (z―1) cosθ―(z+1)sinθ=2(1―z) ≤ 4(1―z)2≤2(z2+1) z2―4z+1≤0 ≤z≤ 解法2：令 则z=== 可得zcos(θ+)+2z=sin(θ+)+2 zcos(θ+)―sin(θ+)=2 (1―z) ≤ 4(1―z)2≤2(z2+1) z2―4z+1≤0 ≤z≤ 解法3：由x2+y2=1，可令 则z=== = 可得zcos(θ+)+z= sin(θ+)+ zcos(θ+)―sin(θ+)=(1―z) ≤ 2(1―z)2≤(z2+1) z2―4z+1≤0 ≤z≤ 想法2：求的最大值与最小值，是关于x，y的二元函数，在中学数学范围内，可对其实施降元处理。令b=，从中解出y代入x2+y2=1，得到关于x的一元二次方程，利用判别式Δ≥0求解。 二、判别式法 解法4：令b=， 则b≠-1，否则，-x+y-2=x+y+2，可得x= -2，与已知x2+y2=1矛盾。 于是，bx-by+2b=x+y+2 (b+1)y=(b-1)x+2(b-1) 从而，y=x+2 令k=，则y=kx+2k。 所以1= x2+y2= x2+k2(x+2)2=(1+k2) x2+4k2x+4k2 (1+k2) x2+4k2x+4k2―1=0 依题意，Δ=(4k2)2―4(1+k2)(4k2―1)≥0 令k2=t，得0≤4t2―(4t―1+4t2―t)=1―3t，即t≤ 所以=k2≤ b2―4b+1≤0 ≤b≤ 想法3：由这一分式，分子与分母都是关于x，y的一次式，用分子除以分母，即进行裂项，再结合解法2、解法3，试用均值不等式。 三、均值不等式法 解法5：令 则z===1+=1+ =1+ ①当sinθ=0时，z=1 ②当sinθ≠0时，z=1+ 令t= ，从而z=1+ ∵t≠0 ∴≤或≥ ―2≤―2或―2≥―2 ≤0或0≤ ≤0或0≤ =1≤z1或1z≤1+= 综合①②≤z≤ 想法4：由这一分式更易联想到斜率公式，采用数形结合的思路。 四、数形结合法 解法6：令 则k = = = 表示为动点P(，与A(―2，―2)两点所连直线的斜率。 如下图： 则KAB≤K≤KAC KAB=tan∠BAD=tan(∠OAD-∠OAB) = === KAC=tan∠CAD=tan(∠OAD+∠OAC) = === 故≤K≤ 解法7：令 则k==== 表示为动点P(，)与A(―，―)两点所连直线的斜率。 如下图： 则KAB≤K≤KAC KAB=tan∠BAD=tan(∠OAD-∠OAB) = === KAC=tan∠CAD=tan(∠OAD+∠OAC) = === 故≤K≤ 解法8：令K== 令 则 代入x2+y2=1得 则K=表示在圆上的动点P(x1，y1)与A(―2，―2)两点所连直线的斜率。 如下图： 则KAB≤K≤KAC KAB=tan∠BAD=tan(∠OAD-∠OAB) = === KAC=tan∠CAD=tan(∠OAD+∠OAC) = === 故≤K≤ 解法9：令b=，则bx-by+2b=x+y+2，即y=x+2 在平面直角坐标系中，表示斜率为，且过定点A(-2，0)的直线。 如下图 依题意KAB≤≤KAC 则KAC =tan?CAO=，KAB=-KAC= - 所以-≤≤ -≤≤ -≤1-≤ --1≤-≤-1 1-≤≤+1 ≤b+1≤ ≤b≤ 解法10：令 m=x+y+2 则 x=(m+n-4)?2 代入x2+y2=1得(m-2)2+(n-2)2=2 n=x-y+2 y=(m-n)?2 则K=表示圆(m-2)2+(n-2)2=2上的点与原点所连直线的斜率。 如下图 则KOB≤K≤KOC KOB=tan∠BOx=tan(∠AOx-∠AOB) = === KOC=tan∠COx=tan(∠AOx+∠COA) = === 故≤K≤ 解题反思： 1、条件换位：如果实数x，y满足=1，求x2+y2的最大值与最小值。上述解法仍可用。 2、条件扩大：如果动点P(x，y)在某圆锥曲线上，求的最大值与最小值。上述解法仍可用。 3、公式结构：众多的数学定理、公式都有其外在的表现形式，学习时要注意这些式子的构造，以期解题时与题目中的条件相对接，展开联想，恰当选择方法