材料科学研究中常用的数值分析方法.ppt

有限差分法的基本原理—— 有限差分法是把原来求解物体内随空间和时间连续分布的问题转化为求在时间领域内和空间领域内有限个离散点的问题，再用这些离散点上的值去逼近连续的分布。 （1）导出差分方程的两种途径： （2）差分方程的建立步骤 实质：以差分代替微分、以差商代替微商，是以有限小量去代替无限微量的近似化过程。 例二：用列主元消元法求解方程组 公式(2-41) (2-42)(2-43)分别表示以一阶向前差商、一阶向后差商和一阶中心差商代替一阶微商时的误差（各级Talor级数截断所产生的误差，又称截断误差）。 有限差分法解题示例 例：利用差分法解Laplace方程第一边值问题 (要求画出差分网格及写出差分方程组)。 解 采用正方形网格剖分，内结点按如图2-3所示编号。设内结点总数为N，对于每一个 (xi，yj)∈D0，利用数值微分公式 本题采用正方形网格，因此h1=h2 ,可推出差分方程为 u1=6.25 u=12.5 u3=18.75 u4=12.50 u5=25.00 u6=37.50 u7=18.75 u8=37.50 u9=56.25 数学模型包括如函数的求值、代数方程的求解、定积分的求值、微分方程的求解等。对数学模型的求解，有的可用公式表示出来，叫做解析解；有的可求出近似解析解，有的只能求出在离散点出的数值解。边界条件就是指所研究的物理量在边界上的取值情况，即在边界上的约束条件。物理系统的边界，对一维空间而言指端点，二维空间指边界线，三维空间指边界面。如：长为L（0≤x≤L）的两端固定的振动弦，其边界条件为u(0,t)=0=u(L,t)=0。如果x=0端固定，x=L按规律u=φ(t)振动，则边界条件为u(0,t)=0，u(L,t)=φ(t)也可以叫做临界条件，既当物体处于一种运动状态和另一种运动状态的或由一种现象变为另一种现象时的交界状态叫临界状态，这时的条件叫做临界条件。临界条件对于解决物理问题非常重要，特别是含有极值的物理问题里面，如果能找到临界条件，将使某个物理量的极值迅速暴露出来，尽快得到答案。 是一种方法，就是指用临界的条件去解决问题。 第一种方法只在少数情况下有效，因过多的简化会引起误差甚至得到错误的结论。 随着计算机技术的发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。为计算数学的主体部分。 建立差分方程是有限差分法的关键环节。 两种方法各具特色，但无论采用哪种推导方法，在建立差分方程之前，均需对所论区域进行离散化。 在图2-1的求解区域内，将自变量x，y分别沿x，y轴方向的连续变化，离散为x0、x1、x2、……、xi及y0、y1、……yn个不连续点，形成离散化网格。网格交点称为结点（或节点），依次将结点编号。与区域自变量离散化相对应，区域内函数被离散化。 将离散化后各相邻离散点之间的距离，或离散化单元的长度称为步长，如图2-1中的xi+1-xi=deltx及yi+1-yi=delty。步长大小可以是常量，也可以是变量 。网格的粗细与是否均匀，要根据求解区域物理场的实际分布和对结果所要求的精确度而定。 一般说来，对均质、形状简单且规则、物理量编号不剧烈的物理，或求解精度要求不高时，可采用等步长、大步长，即采用粗匀网格； 而对形状复杂、组分不同、物理量变化剧烈的物体，或求解精度要求较高时，则采用小步长、变步长。 因此，对一些较复杂的问题，在选择网格与步长前，往往要对所论区域的物理场做出粗略估计，然后以较粗的网格、较大的步长计算出参考性物理场，根据这一参考性物理场再选择合理的离散化网格。 i+1,i,i-1均为离散值编号 对应 增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。 初等变换 （1）行或列互换位置；（2）非零常数乘矩阵某一行或列的各元素；（3）将矩阵的第j行(列)乘以常数k后加到第i行(列)的各对应元素上去。 梯形阵 非奇异矩阵：行列式不等于0。如果A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解。 完全主消元法 Jordan消元法 将系数阵化成对角元素为1的二对角阵，即完成了追的过程 采用同步迭代法求解时，必须先假设一个解xi(0)， 由于及时地利用了新迭代值，故减少了计算机内存占用及计算次数，收敛速度加快。 * 计算机在材料科学中的应用 * 第二章 材料科学研究中常用的数值分析方法 在科学技术和工程领域，对于许多力学问题和物理问题人们已经得到了它们应遵循的基本方程 (微分方程)和相应的定