利用Matlab实现Romberg数值积分算法----系统建模与仿真结课作业精品.pdfVIP

利用Matlab 实现Romberg 数值积分算法 一、内容摘要 针对于某些多项式积分，利用 Newton—Leibniz 积分公式求解时有困难， 可以采用数值积分的方法，求解指定精度的近似解，本文利用 Matlab 中的.m 文件编写了复化梯形公式与 Romberg 的数值积分算法的程序，求解多项式的数 值积分，比较两者的收敛速度。 二、数值积分公式 1.复化梯形公式求解数值积分的基础是将区间一等分时的 Newton—Cotes 求积公式: b b a I =a f (x)dx  2 [f(a) f(b)] 其几何意义是，利用区间端点的函数值、与端点构成的梯形面积来近似 f (x) 在区间[a,b]上的积分值，截断误差为： (ba)3 f ()  (a,b) 12 具有一次的代数精度，很明显，这样的近似求解精度很难满足计算的要求， 因而，可以采用将积分区间不停地对分，当区间足够小的时候，利用梯形公式 求解每一个小区间的积分近似值，然后将所有的区间加起来，作为被求函数的 积分，可以根据计算精度的要求，划分对分的区间个数，得到复化梯形公式： n1 I =b f (x) dx  (ba) [f(a) f(b) 2f (a k (ba) )] a 2n k 1 n 其截断误差为： R  (ba) h2 f ()  (a,b) 12 2.Romberg 数值积分算法 使用复化的梯形公式计算的数值积分，其收敛速度比减慢，为此，采用 Romberg 数值积分。其思想主要是，根据 的近似值 加上 与 的近似误差， I T I T 2n 2n 作为新的 的近视，反复迭代，求出满足计算精度的近似解。 I 用 近似 所产生的误差可用下式进行估算： T I 2n 1   I T n  (T n T n1 ) 2 3 2 2 新的 的近似值： I T j  T j = （0 1 2 ….） n1 n 2 2 Romberg 数值积分算法计算顺序 T 0 i=0 (1) 20 T 0 T 1 i=1 (2) 21