分析力学中一类二维自治系统首次积分.docVIP

分析力学中一类二维自治系统的首次积分 1 前言 积分系统在数学和物理[1-3]众多领域中有重要的应用.在数学界和物理界 有很多人已经研究了这个系统.但是可积性的完全现象还未解决.在物理上主要是 应用逆散射,可以使用于有限维和无限维.在文献[4]中,给出了探寻首次积分的一 个直接方法是把一个给定的位势从哈密顿函数中分离出来,不必要计算对称或使 用诺特定理来得到其首次积分.他们采取一种不同的方式来处理从运动方程中得 到的微分1-形式的积分.即给每个微分形式乘上一个未知的函数,使形式乘以未 知的函数的和是恰当的. 本文在文献[4]的基础上,另外选取一组特殊的乘子函数,使PDE 形式更为简 单,并且能够求出它的首次积分.从而求出它的首次积分,并且给出了两个例子来 说明它在物理中的应用. 2 预备知识 2.1 分析力学中的拉氏函数的定义 拉氏函数全称拉格朗日函数,用L 来表示.拉氏函数L 等于力学体系动能和 势能之差,即：L = T ?V . 拉氏函数是力学体系的一个特性函数,表征着约束、运动状态、相互作用等 性质. 2.2 勒襄特变换 拉氏函数L 是qα , qα ?? (α = 1,2,…, s )及t的函数,并可由此得出拉格朗日方 程式： d ( L ) L 0 dt q q α α ? ? ? = ? ?? ? (α = 1, 2,…, s )， (2-1) 但拉格朗日方程是二阶常微分方程组.如果我们把L 中的广义速度qα ?? 等换成 广义动量pα 等就可使方程组降阶,即由二阶变为一阶,而且还可具有其他的一些 优点.我们现在就来进行这种变换. 在(2-1)中,如果令 1 p L T q q α α α ? ? = = ? ?? ? ?? (α = 1,2,…, s ) ， (2-2) 作为独立变量,则由(2-1)式,可得 p L q α α ? = ? ?? (α = 1, 2,…, s )， (2-3) 而由式(2-2),又可解出qα ?? ,使qα ?? 是p ,q ( 1,2, s) β β β = … 及t 的函数,即 1 2 1 2 ( , , , ; , , , ; ) s s q q p p p q q q t α α ?? = ?? … … ， (2-4) 这是因为L 原是qα , qα ?? , t 的函数,而L qα ? ? ?? 也仍然是qα , qα ?? , t 的函数. 如果把(2-4)式中的qα ?? 代入拉氏函数L中,则L也将变为p, q,t的函数,兹以 L 表之,即 1 2 1 2 ( , , , ; , , , ; ) s s L = L p p … p q q … q t ， (2-5) 这时方程式(2-3)及(2-4)一共是2s 个一阶微分方程组,是拉格朗日方程式(2-1) 的另一表达形式.但这两组方程形式并不对称,计算也不方便.进一步的研究表明, 当独立变量改变时,函数本身亦宜随之改变为另一种形式的函数才好计算.在今 后的热力学及其他学科中,还要经常碰到这种情况.这种由一组独立变数变为另 一组独立变数的变换,在数学上叫做勒襄特变换. 2.3 哈密顿正则方程的有关概念 如果通过勒襄特变换,要使拉氏函数L 中的一种独立变量由qα ?? (α = 1,2,…, s ) 变为pα (α = 1,2,…, s ),其中p L T q q α α α ? ? = = ? ?? ? ?? ,则应引入新函数H ,使 1 ( , , ) s H p q t L p q α α α = = ? + Σ ?? ， (2-6) 而 1 ( ) s dH dL p dq q dp α α α α α = = ? +Σ ?? + ?? ， (2-7) 因为我们现在仍把L认为是q,q??及t的函数,故根据函数求微分的法则,有 1 ( ) s L L L dL dq dq dt q q t α α α = α α ? ? ? = + + ? ? ? Σ ?? ?? 2 1 ( ) s p dq p dq L dt t α α α α α = ? = + + ? Σ ?? ?? ， (2-8) 这里利用了p L T q q α α α ? ? = = ? ?? ? ?? (α = 1, 2,…, s ).及p L q α α ? = ? ?? (α = 1, 2,…, s ).两 式,把式(2-8)中的dL+ 代入式(2-7)中,得 1 ( ) s L dH p dq q dp dt t α α α α α = ? = ? + ?? Σ ?? ?? ， (2-9) 因为经过变换后, H 已是p, q,t的函数,故根据上面所讲的同样理由,知 1 ( ) s H H H dH dq dp dt q p t α α α =