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几种类型的正多边形旋转问题 江苏省泰州市朱庄中学 曹开清 225300 一、有一个顶点重合的两个正多边形旋转问题 1．先看两道题目 （1）如图1-1，正△B1B2B3与正△A1A2A3的顶点B1A1重合，将正△B1B2B3绕点A1旋转到图中的位置时，连接A2B2、A3B3，交点为O，探究线段A2B2与A3B3的数量关系及∠A2OA3的大小． （2）如图1-2，正方形B1B2B3B4与正方形A1A2A3A4的顶点B1A1重合，将正方形B1B2B3B4绕点A1旋转到图中的位置时，连接A2B2A4B4，探究线段A2B2与A4B4的数量关系及关系．答案：（1）A2B2＝A3B3，∠A2OA3＝60°；（2）A2B2＝A4B4，A2B2⊥A4B4．解题过程参见下面对一般情形的解答．2．问题的推广 一般地，如图1-3，正n边形B1B2B3Bn与正n边形A1A2A3An的顶点B1A1重合，将正n边形B1B2B3Bn绕点A1旋转到图中的位置时，连接A2B2、AnBn，交点为O，A2B2＝AnBn，∠A2OAn＝ 证明：在△A2A1B2和△AnA1Bn中， ∵A2A1＝AnA1，∠A2A1B2＝∠AnA1Bn，A1B2＝A1Bn， ∴△A2A1B2≌△AnA1Bn， ∴A2B2＝AnBn，∠A1A2B2＝∠A1AnBn， ∴∠A2OAn＝∠AnA1A2＝． 1．先看两道题目 （1）如图2-1，正方形ABCD的边长为a，将直角MON的顶点O与正方形ABCD的中心重合，当直角MON绕点O旋转到图中的位置时，求重叠部分的面积． （2）如图2-2，正△ABC的边长为a，将120°的∠MON的顶点O与正方形ABCD的中心重合，当∠MON绕点O旋转到图中的位置时，求重叠部分的面积．答案：（1）；（2）．解题过程参见下面对一般情形的解答．2．问题的推广 一般地，如图2-3，正n边形A1A2A3An的边长为a，将大小等于正n边形中心角的∠MON的顶点O与正n边形A1A2A3An的中心重合，当∠MON绕点O旋转到图中的位置时，重叠部分的面积． 证明：∠MON的两边分别交A1A2、A2A3于点E、F，连接OA1、OA2．在△A2和△A中， ∵∠A2＝∠A，A2＝A1，∠＝∠， ∴△A2≌△A1OE， ∴＝△A1OA2＝． 1．先看两道题目（1）教材中的题目：如图3-1，大正方形EFGH的顶点E与小正方形ABCD的中心O重合，在大正方形EFGH绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？ （2）第14届“希望杯”数学邀请赛初二试题：如图3-2，两个全等的正六边形ABCDEF、PQRSTU，其中点P位于正六边形ABCDEF的中心，如果它们的面积均为1，则重叠部分的面积是 ． 题目并不难，但它引发我们思考这样几个问题：此类旋转问题为什么所给出的两个多边形边数都为偶数？能否推广到一般情形？边数为奇数的两个正多边形是否也有类似结论？如果没有，哪么重叠部分的面积是如何变化的？ 2．问题的推广一般地，大正n边形一个顶点与小正n边形的的中心重合，大正n边形绕小正n边形的中心旋转时，若n为偶数，则重叠部分的面积为定值且等于小正n边形面积的；若n是奇数时，则重叠部分的面积不是定值但呈周期性变化．证明如下： 1）当n（）为偶数时，顶点小正n边形中心O大正n边形的两边可以与小正n边形的两条半径重．如图3-3中以正八边形为例，大正n边形的两边小正n边形的两条半径OM、OP重．当大正n边形绕点O旋转一个角度后，可得△OMN≌△OPQ，所以旋转前后，两个正多边形重叠部分的面积不变，且等于小正n边形面积的＝． 2）当n（）为奇数时，大正n边形的两边中有一边与小正n边形的一条半径重时，则另一边垂直于小正n边形的一条边．如图3-4中（以正五边形为例），大正n边形的一边与小正n边形的一条半径OA重，则OE必垂直于小正n边形的一条边．设小正n边形的半径 为R，大正n边形绕O顺时针旋转一个角度，下面来计算△OAB和△OEF的面积及两个正多边形重叠部分面积的改变量： ① 当时，△OAB中，∠AOB＝，∠OAB＝， 由正弦定理及面积公式得 ； 在Rt△EOF中，∠EOF＝，由面积公式得 ， ＝ ， 由三角函数知识得 时，单调递减，时，单调递增，时，取得最小值． ② 当时，△EOF变成了四边形，此时同样可以求得 ， 由三角函数知识得 时，单调递增，时，单调递减，时，取得最大值． 综上所述，当n（）为奇数时，大正n边形的一个顶点绕小正n边形的中心旋转（起始位置为大正n边形的一边重叠于小正n边形的一条半径，且顺时方向旋转），两个多边形重叠部分面积的变化情况依次是：递减（→）、最小值（）、递增（→）、继续递增（→）、最大值（）、递减（→），如此周期性变化． 6 页