3.1.3空间向量的数量积运算 教育部重点课题新教育子课题.pptxVIP

教育部重点课题新教育子课题 《在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践》 引入 我们知道一个概念的发生发展要在一定的时空中才能运行。上节课讲过一些概念的发生发展只需在二维时空即平面中即可发生发展。又因为二维时空即平面是三维时空的特殊情况。所以一个概念如果只需在二维时空中发生发展，那这个概念在二维时空中的定义、性质依旧在三维时空中成立。上节课我们也碰到一些概念的发生发展只能在三维时空中进行，所以会多了新的知识，它们在三维时空中要有焕然一新的定义及会有焕然一新的性质。 问：向量的数量积定义和运算只需在几维时空中进行？ 答：向量的数量积运算只需在二维时空中就行。所以在二维时空中数量积的定义性质在三维时空中依旧成立。 3.1.3空间向量的数量积运算 平面向量的夹角： 平面向量的数量积的定义： 即 你能类比平面向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律推导出空间向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律 概念 1） 两个向量的夹角的定义 夹角范围需要死记硬背吗？ 答：看看两端有没有意义。 2）两个向量的数量积 注意： 　①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　②零向量与任意向量的数量积等于零。 3)空间向量的数量积性质 注意： 　①性质2）是证明两向量垂直的依据； 　②性质3）是求向量的长度（模）的依据； 4)空间向量的数量积满足的运算律 注意： 思考 用具体例子来套一下来理解。 应用 由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借助向量的数量积运算来解决. (1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角,可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便. (2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过求向量的模得到. 典型例题 例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！ 证明： 为 逆命题成立吗? 分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析. 用向量法证明第一步先把直线、面向量化 此题看不出几何法与向量法哪个运算量大。但此题可以看出向量法与几何法的区别。向量法证出来了也不知道为什么证出来。向量法证明是空荡荡的，找不到一个坚实的支撑点。几何法证出来了我们就知道为什么证出来。向量法是垂直不知道为什么垂直，几何法垂直我们就知道为什么垂直。向量法是抽象的代数运算，所以垂直我们不知道为什么垂直。向量法表面上是代数运算实际上是几何运算，几何运算被隐藏起来了。几何法是直观立体让我们看清楚垂直为什么垂直，因为有图形为证，但几何法需要空间想象能力。几何法我们是通过视觉，而向量法却是大脑的抽象思维。 变式 设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足 则△BCD是 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 C 分析：要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直. 例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ . m n 取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理 例2:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ . 请思考 1.如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？ 2.如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直？ 已知： 直线和平面垂直的判定： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 求证： A C D B E m n g A’ l . . . 分析： 1.要证 ，根据定义，转化为证明垂直于平面内的任意一条直线g，那么l,g,m,n之间的位置有哪几种呢？ 可以看出：只要证明图（1）的情况，根据异面直线所成的角，其它三种情况也就得证了。 2.构造平面图形解决问题 首先对直线g分类： （1）当