高等数学(同济版)第三章ppt 3-3.pptVIP

中值定理与导数的应用 四、简单的应用 2. 证明 e 为无理数 . 思考题解答 解 故由于 有 因 显然, 思考题2 1. 求 解: 由于 用洛必塔法则不方便 ! 用泰勒公式将分子展到 项, 两边同乘 n ! = 整数 + 假设 e 为有理数 ( p , q 为正整数) , 则当 时, 等式左边为整数; 矛盾 ! 证: 时, 当 故 e 为无理数 . 等式右边不可能为整数. 练 习 题 练习题答案 五、小结 五、小结 五、小结 五、小结 五、小结 * 简单的, 多项式函数 特点 (1)易计算函数值; (2)导数与积分仍为多项式; (3)多项式由它的系数完全确定, 又由它在一点的函数值及导数值确定. 而其系数 用怎样的多项式去逼近给定的函数 误差又如何呢 熟悉的函数来近似代替复杂函数. — 应用 用多项式近似表示函数 理论分析 近似计算 一、问题的提出 回想微分 一次多项式 （如下图） 如 以直代曲 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? 不足 1. 精确度不高； 2. 误差不能定量的估计. 一次多项式 问题 (1) 系数怎么定? (2) 误差(如何估计)表达式是什么? 希望 用适当的高次多项式 n n n x x a x x a x x a a x P ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 0 2 0 1 0 - + + - + - + = L ) ( x f ? 分析: 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 称为f(x)的 泰勒多项式来逼近 并估计它的误差. 下面将证明确实可以用 函数 泰勒多项式. 三、泰勒(Taylor)中值定理 其中 1 0 ) 1 ( ) ( )! 1 ( ) ( ) ( + + - + = n n n x x n f x R x ( x 在 0 x 与 x 之间 ) . 证明: 拉格朗日形式的余项 皮亚诺形式的余项 注意: 麦克劳林(Maclaurin)公式 解 代入公式,得 例 求 x e x f = ) ( 的 n 阶麦克劳林公式 . 由公式可知 估计误差 其误差 误差为 泰勒多项式逼近 类似地,有 例 解 用间接展开的方法较简便. 两端同乘x,得 带拉格朗日型余项的公式展开问题 注 一般不能用这种方法. 解 一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项. 的一阶泰勒公式是 其中 三阶泰勒公式是 常用函数的麦克劳林公式 解 例 计算 4 0 3 cos 2 lim 2 x x e x x - + ? . 像这类估值问题常用泰勒公式. 证 例 分析 利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式. 带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式, 得 (1) (2) 即 故 证明 证 例 ). 0 ( 8 2 1 1 2 - + + x x x x 播放 五、小结 播放 思考题1 利用泰勒公式求极限 * *