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方法技巧篇十九 第十九章 四边形 一、平行四边形应用举例 平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计 1．求角的度数 1 如图，ABCD中．AD=2AB，点E、A、B、F在一条直线上，且EA＝AB＝BF，求∠DOC的度数． 2 （2007·河北）如图ABCD与EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE=90°，则∠F2．求线段的长 3 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠A =120°，∠B＝60°∠BCD＝∠150°，求AD 例4 (2006·河北)如图DABCD中，AD＝5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别为( ) A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 3．求周长 5 (2006·日照)如图ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF= 45°，且AE+AF，求ABCD的周长4．求第三边的取范围 6 (2006·双柏)如图ABCD中，对角AC和BD相交于点0，如果AC=12，BD=10，AB=m，m的取值范围是( ) A．10m12 B．2m22 C．lmll D．5m6 ．综合计算题 7 如图,ABCD的周长为BC的长为AE⊥BC于E，AF⊥DC，垂足为DC延长线上的点F，AE=3． 求：(1)∠D的度数；(2)AF的长． 6．探索题 8 如图，四边形ABCD是平行四边形，BCD的平分线CF交边AB于点F，∠ADC的平分线DGAB于点G，且DG与CF交于点E．请你在已知条件的EFG为等腰直角三角形，并说明理由． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．这是三 例9 如图，在△ABC中，ABAC，点D在AC上，且有CD=AB，E、FAD和BC的中点，连结EF并延长与BA的延长线相交于点G，求证：AE=AG． 10 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交O，且AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N．求证：∠OMN=∠ONM. 11 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的AC于点F，求证. 例12 如图，△ABC的中线AD、BE相交于点G，求证： 三、巧算与矩形有关的面积题 解答这类问题可考虑用未知数表示某些线段，构造方程来求解． 例13 如图，矩形ABCD的面积为S，E是AB的四等分点，F是BC的G是CD的中点，则△EFG的面积为 例14 如图，矩形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，且等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 四、折叠问题 近几年一些省市的中考题中出现了很多有关矩形纸片折叠的问题．由于这类问题的实践性强，需要同学们通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形利用勾股定理来求解．以下面例题加以说明． 例15 矩形纸片ABCD中．AD=4 cm，AB=10 cm，按如B与点D重合，折痕为EF，则DEcm． 16 将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图CED=60°，则∠AED的大小是( ) A．60° B．50° C．75° D．55° 17 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是 我们知道如果直线m∥n，A、B为直线n上的两点，C、P为m上的两点(如图)，容易根据平行线之间的距离处处ABC和△ABP面积相等；△CPA和CPB面积相等，还有一对面积相等的三角形，你知道吗？ 我们进一步看：如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论点P移动ABP与△ABC的面积相等， 理由：因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上怎么移动，总有△ABPABC的同底等高，因此，它们的面积总相等． 18 如左图，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意所示形状，但承包土地与开始荒地的分界(图中折线CDE)还保留着，为了便于通行，张大爷想过E点修一条直路， (1)写出设计方案，并在图中画出相应的图形； (2)说明方案设计理由． 阅读综合理解题主要考查同学们对“新事物”“识”的接受和理解能力，也考 例19 阅读以下短文，然后解决下列问题： 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．显然，当△ABC是钝角三角形 (1)依照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”； (2)如图，若△ABC为直角三角形，且∠C90°，在图