1-2 刚体转动惯量.pptVIP

第一章 刚体的转动 1-2　转动惯量 设刚体绕固定轴Oz以角速度? 转动,各体元的质量 分别为?m1 , ?m2 , … , ?mn ,各体元到转轴Oz的距 离依次是r1 , r2 , … , rn。 n 个体元绕Oz轴作圆周运 动的动能的总和为： 一、刚体的转动动能 (Rotational kinetic energy ) 式中 称为刚体对转轴的转动惯量 。 代入动能公式中, 得到刚体转动动能的一般表达式 刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似性的。 用J 表示： 二、刚体的转动惯量 (Moment of inertia ) 从转动动能公式看到 , 刚体的转动惯量J与质点的质量 m 相对应 。在质点运动中, 质点的质量是质点惯性的量度 。在刚体转动中, 刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。 若刚体的质量连续分布 , 转动惯量中的求和号 用积分号代替 与转动惯量有关的因素： 刚体的质量、 转轴的位置、 刚体的形状。 质量离散分布 J 的计算方法 质量连续分布 ：质量元 对质量线分布的刚体： ：质量线密度 对质量面分布的刚体： ：质量面密度 对质量体分布的刚体： ：质量体密度 ：质量元 质量连续分布刚体的转动惯量 几种常见形状的刚体的转动惯量 例 1：一根质量为m = 1.0 kg 、长为l = 1.0 m 的均匀细棒, 绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度? = 63 rad?s-1 旋转, 求转动动能。 解：先求细棒对转轴的 转动惯量J, 然后求转动动 能Ek。 将棒的中点取为坐标原 点, 建立坐标系Oxy,取y 轴 为转轴, 如图所示。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为 x dx x y o 根据式(5-4), 应有 棒的转动动能为 O R O 例2 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 . 解 设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环 而 圆环质量 所以 圆环对轴的转动惯量 两个定理 1. 平行轴定理 式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系 垂直轴定理证明： 对于质量平面分布的刚体，绕 x 轴的转动惯量为： 绕 y 轴的转动惯量为： 绕 z 轴的转动惯量为： 证毕 解：两平行轴的距离 , 代入平行轴定理， 得 例3：在第一个例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为 求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 · R o x y 例 4：求质量为m、半径为R 的均质薄圆盘对通 过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。 解：盘的质量分布均匀, 盘的质量面密度为 取半径为r、宽为 dr的圆环如图所示，其质量为 圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为 r dr * * 第一章 刚体的转动 1-2　转动惯量