考研资料(方程的性质-基础解系-通解)08.doc

解的性质、基础解系及方程组的通解 知识点、题型、解题技巧综述 1．齐次线性方程组解的线性组合仍是该齐次线性方程组的解. 2．非齐次线性方程组两解之差是其导出组的解. 3．若是的解，则当时，是的解；当时，是的解. 4．当齐次线性方程组有非零解时，存在基础解系.其基础解系是该齐次线性方程解向量组的极大无关组，它包含个解向量. 5．确定的基础解系要从三个方面考虑.（1）是解；（2）无关；（3）个数（）. 6．齐次线性方程组的通解是其基础解系的线性组合. 7．非齐次线性方程组的通解是其导出组的通解与其任意一个解的和. 例题精解 例1．（05数1，2—9）已知三阶矩阵的第一行为其中：不全为零，矩阵（为常数），且，求线性方程组的通解. 解：由，得，又，则. 若，则，于是，由于中第一行不全为零，则，故.可见此时的基础解系所含解向量的个数为：.而矩阵中第一、三列线性无关，可作为其基础解系.故的通解为：，其中：为任意常数. 若，则，从而. 若，则的通解为：，其中：为任意常数. 若，则的同解方程组为：，不妨设，则其通解为：，其中：为任意常数. 例2．已知是方程组的解，则方程组的通解是. 解：在系数矩阵中有二阶非零子式，故. 又因为是齐次线性方程组的线性无关的解向量,而有，即.从而得系数矩阵的秩. 于是，该方程组的通解为：. 点评：求解本题的关键是先求出，再算出就可以求解了.本题亦可利用解的概念先求出参数然后再解方程组,但这样计算繁琐，不好. 例3．设是四元非齐次线性方程组的四个解向量，且，，.若秩,则方程组的通解为. 解：因为有解，且，那么，故其通解为：. 下面应用解的性质分析出特解及导出组的基础解系. 由于，则.即是的一个解. 令. 又因为，的组系数之和为0，所以都是导出组的解. 而，对应分量不成比例，是线性无关的两个解向量，故是其基础解系.令，.则的通解为：. 点评：本题考查线性方程组解的性质. 例4．（02数1，2—10）已知四元非齐次线性方程组的系数矩阵为，其中均为四维列向量，线性无关，且，求线性方程组的通解. 解：因为线性无关，且，则线性相关且.于是，，即的基础解系仅含一个解向量. 注意到线性方程组的向量形式，由可以推出，.即，是齐次线性方程组的一个非零的解向量，于是由定义该解向量也是的基础解系. 又因为，所以有.即，向量是非齐次线性方程组的一个解向量. 于是，根据非齐次线性方程组通解的结构知该方程组的通解为：.（其中：为任意实数.） 点评：本题是02年数一、二的考试真题,满分为6分.据教育部考试中心统计，数一的考生人均得2.94分，数二的考生人均得2.16分.本题综合考查了齐次线性方程组基础解系的概念、判定；线性方程组的向量形式；线性方程组通解的结构等多个知识点.本题也可以用构造同解方程组的方法求解. 其解法如下：设是方程组的任一解，则由方程组的向量形式可知，有. 即，.将代入此式并整理得：.因为线性无关，所以必有.解此方程组即得的通解为：. 例5．已知矩阵，其中均为四维列向量，若非齐次线性方程组的通解为：.令，试求方程组的通解. 解：由通解的结构可知，，即，即. 从而. 又因为，所以是线性方程组的解. 再分析寻找导出组的个线性无关的解向量. 注意到及（1），（2）可得以下结论： 即是齐次线性方程组的解. 同理，即也是齐次线性方程组的解. 又因为以上的两解对应分量不成比例，故线性无关，从而是其基础解系. 于是，该方程组的通解为：. 点评：要求方程组的解必须要知道，从而得知导出组基础解系所含解向量的个数；要求出的任意一个解；还必须求出的基础解系.此题的综合性很强，请考生注意体会，真正搞懂才行. 例6．（94数3—10）设方程组，（1）证明：若两两不相等，则此线性方程组无解；（2）设，且已知是该方程组的两个解，其中写出此方程组的通解. 解：（1）设原方程组系数矩阵为，增广矩阵为，则，，显然，. 当两两不相等时，，从而.而，因此，则原方程组无解. （2）当时，原方程组化为 即.此方程组的增广矩阵为：.由于，因此系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩均为2，从而相应齐次方程组的基础解系含有1 个解向量，由已知是原方程组的两个解，则，从而即基础解系的唯一的解向量，因此通解为：. 例7．设是三阶实对称矩阵,特征值1,0,-2,矩阵的属于特征值1与-2的特征向量分别是和,求方程组的通解. 解:因为A是实对称矩阵,必可对角化,有,由此可知. 从而方程组的基础解系含一个解向量. 又困为实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交,则有:. 再设的特征向量为,由正交性得:,解之得一个解为: 是属于的特征向量,于是满足,即为方程组的解向量,而线性无关,故可作为方程组的基础解系. 那么,方程组的通解为: . 点评:本题考查了下列知识点:实对称矩阵必可对角化;实对称矩阵