不等式恒成立问题的解法讲解材料.pptVIP

数学解题绝招 含参数不等式恒成立问题的解法 一、方法引入： １.数形结合法 : (1）若f(x)=ax+b,x ∈[α,β]，则： f(x)0恒成立 f(x)0恒成立 α β o x y f(?)0 f(?)0 f(?)0 f(?)0 含参数不等式恒成立问题的解法 （2）ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是： ______________________。 a=b=0 C0 或 a0 Δ=b2-4ac0 同理， ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是： ______________________。 a=b=0 C0 或 a0 Δ=b2-4ac0 2.分离系数法： 把所给不等式中的参数a分离出来放在不等式一边，其余项放在另一边构成函数f(x),利用 ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：____________ 的思想，去解不等式的方法。 ａ≥[f (x)] max ａ≤[f (x)] min 二、典型例题： 例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ； （2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 . 当1-m0时，即m1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充 要条件为： 解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ； (1-m)?(-2)2+(m-1)?(-2)+ 3 0 当1-m0时，即m1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充 要条件为： △=(m-1)2-12(I-m)0 ， 解得: -11m1； 解得: 1m 综上可知: 适合条件的m的范围是: （-11， ） 则 g(m)0恒成立? g(-2)=3x2-3x+30 g(2)=-x2+x+30 解: (2) 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m [-2,2]） 即 x R x ∴ x （ ， ） 例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ； （2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 . 练习1: 对于一切 |p| ≤2，p∈R，不等式x2+px+12x+p 恒成立，则实数x的取值范围是： —————————— （-∞，-1）∪（3，+∞） 小结： 1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。 例2、①若不等式x2 logax对x （0, ）恒成立，则实数a的 取值范围是 ————————. ②若不等式x2-kx+20,对x [-3,3]恒成立，则实数k 的取值范围是 —————————— . 1 0 x y y=x2 y=log x 在同一坐标系下作它们 的图象如右图: ①解： 设 y1= x2 (x (0, )) y2= logax 由图易得: ≤a ＜1 小结: 3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数 图象的关系再处理。 练习2、 若 ≤ kx-1 对x ∈ [1,+? ) 恒成立，则实数k的取值范 围是：_____________。 [2，+∞） 例3、若不等式x +2 ≤a(x+y)对一切正数x、y恒成 立，则实数a的取值范围是 —————————。 令 （t 0） 解: 分离参数得: a ≥ 又 令1+2t=m（m 1），则 f(m)= ∴ a ≥ [f (x)] max= 即a ≥ (当且仅当m= 时等号成立) 恒成立 , 则 a ≥ （t 0） 恒成立