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不等式恒成立问题的解法讲解材料.ppt
数学解题绝招 含参数不等式恒成立问题的解法 一、方法引入: 1.数形结合法 : (1)若f(x)=ax+b,x ∈[α,β],则: f(x)0恒成立 f(x)0恒成立 α β o x y f(?)0 f(?)0 f(?)0 f(?)0 含参数不等式恒成立问题的解法 (2)ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是: ______________________。 a=b=0 C0 或 a0 Δ=b2-4ac0 同理, ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是: ______________________。 a=b=0 C0 或 a0 Δ=b2-4ac0 2.分离系数法: 把所给不等式中的参数a分离出来放在不等式一边,其余项放在另一边构成函数f(x),利用 a≥f(x)恒成立的充要条件是:_____________; a≤f(x)恒成立的充要条件是:____________ 的思想,去解不等式的方法。 a≥[f (x)] max a≤[f (x)] min 二、典型例题: 例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 ................ (*) (1)当| x | ≤2,(*)式恒成立,求实数m的取值范围 ; (2)当| m | ≤2,(*)式恒成立,求实数x的取值范围 . 当1-m0时,即m1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充 要条件为: 解:(1)当1-m=0即m=1时, (*)式恒成立, 故m=1适合(*) ; (1-m)?(-2)2+(m-1)?(-2)+ 3 0 当1-m0时,即m1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充 要条件为: △=(m-1)2-12(I-m)0 , 解得: -11m1; 解得: 1m 综上可知: 适合条件的m的范围是: (-11, ) 则 g(m)0恒成立? g(-2)=3x2-3x+30 g(2)=-x2+x+30 解: (2) 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) (m [-2,2]) 即 x R x ∴ x ( , ) 例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 ................ (*) (1)当| x | ≤2,(*)式恒成立,求实数m的取值范围 ; (2)当| m | ≤2,(*)式恒成立,求实数x的取值范围 . 练习1: 对于一切 |p| ≤2,p∈R,不等式x2+px+12x+p 恒成立,则实数x的取值范围是: —————————— (-∞,-1)∪(3,+∞) 小结: 1、一次函数型问题,利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题,结合抛物线图像,转化成最值问 题,分类讨论。 例2、①若不等式x2 logax对x (0, )恒成立,则实数a的 取值范围是 ————————. ②若不等式x2-kx+20,对x [-3,3]恒成立,则实数k 的取值范围是 —————————— . 1 0 x y y=x2 y=log x 在同一坐标系下作它们 的图象如右图: ①解: 设 y1= x2 (x (0, )) y2= logax 由图易得: ≤a <1 小结: 3、对于f(x)≥g(x)型问题,利用数形结合思想转化为函数 图象的关系再处理。 练习2、 若 ≤ kx-1 对x ∈ [1,+? ) 恒成立,则实数k的取值范 围是:_____________。 [2,+∞) 例3、若不等式x +2 ≤a(x+y)对一切正数x、y恒成 立,则实数a的取值范围是 —————————。 令 (t 0) 解: 分离参数得: a ≥ 又 令1+2t=m(m 1),则 f(m)= ∴ a ≥ [f (x)] max= 即a ≥ (当且仅当m= 时等号成立) 恒成立 , 则 a ≥ (t 0) 恒成立
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