4.7 平面曲线的曲率(1-16)讲解材料.pptVIP

§4.7 曲率 问题: 如何定量化的刻画曲线的弯曲程度及其计算 10 曲率的概念 B A A? B? B A （1） （3） 可以看出： (2) A B （a）对于等长的弧段，转角??大，则 弯曲程度也大 问题在于: ?S ?S? , 即两弧段不等长, 称为 AB 的平均曲率 称为曲线在 A 点的曲率 ?（2）的弧段AB的弯曲程度 (1)的弧段 AB 的弯曲程度 （b）弧A?B?与AB 的转角 ?? 相等，但A?B?的弯曲程 度 AB的弯曲程度 所以刻画一段 弧的弯曲程度应考虑它的平均弯曲程度才是合理的 绝对值称为曲线在 A 点的曲率 即当 B 沿弧段趋于 A 点时，平均曲率的极限的 下面考虑如何计算曲率 K 解 由于?? =?? ?曲率 求半径为R 的圆的平均曲率与曲率 例 设 则 A B R 每一点都相等）并且与半径 R 呈倒数关系 即圆在任一点处的曲率都是相等的（即弯曲程度 一般地，设平面曲线为 并假定 x(t) , y(t) 在 ?? , ?? 上有连续的导数 在曲线 L上，取一定点 P，并选取曲线的一 方向作为曲线的正向 对于曲线上的一点 A , 若 PA 与曲线的正向一致， 反之取负值 - ?PA?. 弧的概念： 而且是 t 的单调函数 于是 s = s(t) , ?? t? ? 则 s 取正值?PA?， x y 即若曲线的正向与 t 上升描绘 图形的方向一致时, s(t) 单调增加 , 反之 s(t) 单调减少 至此我们有下对应关系: x y 则 AB = ?s 设 s 对应于点 A, s + ?s 对应于B , 我们把切线上向着弧 s 增加的方向叫做切线的 正方向 (正切向) 记切线 ?A与 x 轴正向的夹角为 ?(s), 切线 ?B 与 x 轴正向的夹角为 ?(s+ ?s) 即曲率 由于 下面考虑计算弧微分ds 设 t ?A (x , y) , t+?t ? B (x+?x , y+ ?y) , 则 x y x x+?x 可以证明: 所以 (1) 所以 , 有 (b) 若曲线 , 则有 ( 极坐标情形的弧微分公式 ) (c) 若曲线 则有 ( 直角坐标情形的弧微分公式 ) 设曲线由 给出 , f (x) 在 ?a , b? 上有二阶连续导数, 则 所以曲率 (3) 求曲线 在点 例 处的曲率 解 曲率 将 代入得曲线在 M 点的曲率 将曲线表为参数方程: 此时 解 求极坐标方程为 例 的曲线上任一点处的曲率 .