复变函数 重庆师范大学 数学学院.docVIP

课 程 教 学 大 纲 (理论课) 课 程 名 称： 复变函数 适 用 专 业： 数学与应用数学 课 程 类 别： 学科基础课程 制 订 时 间： 2006年8月 数学与计算机科学学院 制 《复变函数》课程教学大纲 （2002年制订，2006年修订） 一、课程代码：0501121007 二、课程类别：学科基础课程 三、预修课程： 数学分析 四、学　 分： 4学分 五、学 时： 72学时 六、课程概述： 复变函数是数学专业一门主要的专业必修课，也是为信息与专业开设的必修课。 通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。为进一步学习其他课程，并为将来从事教学、科研及其他实际工作打好基础。通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。 八、学时分配表 教学内容(章) 理论学时 实验学时 习题课 其它 备注 第一章　复数及复学函数 6 2 8 第二章　解析函数 10 2 12 第三章　复变函数的积分 10 2 12 第四章　解析函数的幂级数表示法 8 2 10 第五章　解析函数的罗朗展式 10 2 12 第六章　留数理论及其应用 10 2 12 第七章　保形变换 6 6 九、教学基本内容： 第一章、复数与复变函数（8学时） 教学要求： 掌握复数及运算规律复数的几种表示形式及相互之间的运算关系。理解复数的乘积及商、幂、根的求法，了解区域的概念。理解复变函数及复变函数的极限和连续性） 第二章 解析函数（12学时） 教学要求： 掌握解析函数的概念-黎曼条件。理解与的关系。函数解析的充要条件。掌握初等函数及其计算法。重点：-黎曼条件，基本初等函数的解析性以及函数解析的充要条件。掌握初等函数及其计算法。 一、复变函数的导数与微分，解析函数的概念，柯西-黎曼条件，函数可微与解析的充要条件。 二、初等解析函数 幂函数，指数函数，三角函数与双曲函数 三、初等多值函数　 根式函数，对数函数以及一般幂函数与一般指数函数。 第三章 复变函数积分（12学时） 本章包含复变解析函数的最精彩的部分。这一章是整个复变函数的重点。它从柯西积分定理出发得出柯西积分公式，从而得到解析函数的积分表达及其导数的存在性和积分表达，这是实分析中所没有的性质。 教学要求： 理解复变函数积分的定义，了解其基本性质，能将光滑曲线上的连续函数的积分化成定积分的计算。掌握柯西积分定理。掌握柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式，并能运用它们计算某些复积分，了解解析函数与调和函数的关系。掌握柯西不等式、刘维尔定理；理解摩勒拉定理是柯西积分定理的逆定理． 重点：柯西积分定理和柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式。 教学内容：一、复积分的概念及其简单性质。 复变函数的定义，复变函数积分的计算问题，复变函数积分的基本性质。二、柯西积分定理　 柯西积分定理、不定积分、柯西积分定理的推广 柯西积分定理推广到复周线的情形 三、柯西积分公式及其推论 柯西积分公式，解析函数的无穷可微性 柯西积分不等式及刘维尔(Liouville)定理、摩勒拉定理。四、调和函数概念，解析函数与调和函数的关系。 第四章 解析函数的幂级数表示法（10学时） 教学要求： 了解复数项级数。理解幂级数的概念、收敛半径及其求法。掌握复变函数在什么条件下可展成级数的麦克劳林展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。 理解解析函数零点的孤立性及唯一性定理以及最大模原理。 重点：在什么条件下复变函数可展成幂级数，并能将一些解析函数展开成幂级数 教学内容：一、复级数的基本性质 复数项级数、一致收敛的复函数项级数、解析函数项级数。二、幂级数 幂级数的敛散性，Abel定理，收敛半径的求法 柯西－阿达玛（Hadamard）Taylor）展式 泰勒定理 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况 解析函数的Taylor展开式 一些初等函数的泰勒展式。　 四、解析函数零点的孤立性及惟一性定理 解析函数的孤立性 解析函数唯一性定理、最大模原理。 第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点（12学时） 教学要求： 会将解析函数展为罗朗级数，能熟练判别孤立奇点的类型，了解毕卡定理了解解析函数在无穷远点的性质，掌握整函数与亚纯函数的简单应用。 重点：掌握复变函数在什么条件下可展成罗级数并会展12学时） 教学要求： 了解残数的概念，会求函数在孤立奇点的残数，能用残数定理计算一些类型的定积分、反常积分和复积分，掌握儒歇定理的简单应用。 重点：残数及残数计