二因式分解.docVIP

二、因式分解 在第一章中，我們知道兩個x的一次式乘積展開後成為x的二次多項式。反過來說，如果能將一個x的二次式寫成兩個x的一次式的乘積，我們稱這樣的過程為這個二次式的因式分解。此時，這兩個一次式都稱為二次多項式的因式，而這個二次多項式則稱為這兩個一次式的倍式。 在高中的課程中，我們也將一個多項式寫成幾個一次或二次的多項式的連乘積，這種過程也稱為這個多項式的因式分解。例如： = = 在國中階段做因式分解時，我們只考慮因式的係數為有理數（整數或分數）的情形。但從此以後，我們將不再要求因式的係數一定是有理數。 現在來介紹幾個常用的方法：提公因式、分組分解、十字交乘和利用乘法公式。 2-1 提公因式 【從各項提公因式】 如果發現每一項都有共同的因式時，我們可先將此公因式提出。 【範例1】因式分解下列多項式： (1) (2) (3) 【解】 (1) = = (2) = (ab)( ab)2( ab) = (ab)[(ab)2] = (ab)(ab2) (3) = = = 2-2十字交乘法 因為大家都已熟悉十字交乘法，所以在這裡只舉例，而不做文字說明。 【二次三項式】 【範例1】因式分解下列多項式： (1) 【解】 (1) = 【類題練習】因式分解下列多項式： (1) (2) 【家庭作業】 因式分解下列多項式： 1. = 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 2-3利用乘法公式 【範例1】因式分解下列各式： (1) (2) (3) 【解】 (1) = = (2) = = (3) = = = （或寫成） 【平方差】 【範例2】因式分解下列各式： (1) (2) (3) 【解】 (1) = = = = = (2 ) = = = = (3) = = = = 【配方法】 利用完全平方公式或完全立方公式，再配合平方差公式或前面介紹的方法，可以處理一些特殊多項式的因式分解，這裡需要一些拆項(分項)或補項(加減項)的技巧，要多練習。 【範例4】因式分解下列多項式： (1) (2) 【解】 (1) = = = = = (2) = = = = = 在國中時期，因為我們要求因式分解後的各個因式的係數皆為有理數，所以有些二次式無法分解。如果允許因式的係數可為任意實數，那麼我們就可以用配方法來分解它。 【範例6】因式分解。 【解】 = = = = 【類題練習3】利用配方法的技巧，來因式分解下列各式： (1) (2) (3) 【家庭作業】 因式分解下列各式： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 15 因式分解 乘積展開