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第12课时二项式定理(2)(习题课) 教学目标： 1.进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用； 2.展开式中的第项的二项式系数与第项的系数是不同的概念. 教学重点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用. 教学难点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用. 教学过程： 一.问题情境： 1．二项式定理及其特例： （1）， （2）. 2．二项展开式的通项公式：. 二.数学运用： 例1．（1）求的展开式的第四项的系数；（2）求的展开式中的系数. 解：的展开式的第四项是，∴的展开式的第四项的系数是 -． （2）∵的展开式的通项是， ∴，， ∴的系数． 例2．求的展开式中的系数. 分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开 解法一: ， 显然，上式中只有第四项中含的项， ∴展开式中含的项的系数是 解法二： ∴展开式中含的项的系数是． 例3．已知 的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值. 分析：展开式中含项的系数是关于的关系式，由展开式中含项的系数为，可得，从而转化为关于或的二次函数求解 解：展开式中含的项为 ∴，即， 展开式中含的项的系数为 ， ∵， ∴， ∴ ，∴当时，取最小值，但， ∴ 时，即项的系数最小，最小值为，此时． 例4．已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列， （1）证明展开式中没有常数项；（2，即，∴舍去） ∴ ①若是常数项，则，即， ∵，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若是有理项，当且仅当为整数， ∴，∴ ， 即 展开式中有三项有理项，分别是：，，. 三.回顾小结：1．三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性； 2．求常数的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 四. 计数原理作业12答案: 1．展开式中常数项是 . 解:通项，由，常数项是. 2．(1)在展开式中，x5y2的系数是 . (2)在(a+b+c)6展开式中，含a3b2c的项的系数是 . CC 3．展开式中有理项的项数是 解:通项，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项有4个. 4．展开式中的中间两项为 . 5． . 6. 的展开式中的有理项是展开式的第 项. 3,9,15,21 7.求（+－4的展开式中的常数项. 答案: 1120 提示:先通分,再求分子的系数. 8．在的展开式中，是否存在连续三项，这三项的系数成等差数列？如果存在，说明是哪些项，如果不存在，说明理由. 答案: 9,10,11或14,15,16. 9．8个朋友成前后两排，每排4人，若甲、乙必须在前排且不相邻，其余6人位置不限，共有多少种排法?解：甲、乙在前排，可从其他6人中选出2人有C62种选法，他们与甲、乙一起排在前排有A44种排法，但甲、乙不相邻，应减去甲、乙相邻的排法A33A22，则前排有C62 A44－A33A22种排法；对于前排的无论哪一种排法，后排有A44种排法．所以共有排法C62 A44－A33A22)A44=(种)． 从其他6人中选出2人有62种法，甲、乙前排2种，共有排法62 A32A44=4320(种)．