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线代第七章习题解_ 第七章 习 题 一 ?0????1? 1．解： 取a1=α,a2=??’α 0???0????0??0?????0???0?＝??,a4=??,采用斯密特正交化过程将其正交化310?????0??1?????1??12??3??12?1??12?1??12?为 ?????,取?2’?????????1??1???1?????1 =??, ?2??11????1??1?????1???1??????3?00????, , ????34???2??0????????1??1???????1????6??0????’?, 2??2?, ?6????1????6???1????2??0?? ?4’???0??1??????2??1????12????1??2???02解： 采用斯密特正交化过程将其正交化为：?1???, ?2????1??1?2??2????0?1??????2???????????????1??12?1??12?, ??1?12?3??12?2. ?????, ?3????? 1 ?4??1??2?2???6?1??6?0??????? ?????3. 解：将A分块：A?(a1,a2,a3)则a1,a2,a3 为标准正交向量组，满足： ?1(ai,aj)???0i?ji?j代入数字求得a=b=- 6，c=-3，d=-6。 4．证明：?A?2I?2=I, ?A?2I?=?A?2I?TT 从而?A?2I??A?2I??I,于是A+2I是正交阵。 ?1?5．求a,b，使得?2?a?1??2?为正交阵 b??i?ji?j 解：由(ai,aj)???1?0得a??12，b?12或a?12，b??12 ??a?16． 设A???2?0???12b0?0???0为正交阵，求a,b。 ??1???i?ji?j解：由(ai,aj)?? ?1?0得a??12，b?12或a?12，b??12 习题二 1 ．（1）. 解： 特征多项式为f(?)??(??1)(??3)， 2 ?1??1????1?当??0代入(?I?A)x?0 .求得 ?1??1? 单位化：e1?1?? 3???1??????1??1??1????1?当??1代入 (?I?A)x?0.求得 ?2???1? 单位化：e2???1? 2??0?????0??1??1???1??当??3代入(?I?A)x?0求得?3??1? 单位化：e1??1? 6???2????2??0?T 令P?(e1,e2,e3) 原式PAP??0?0?0100??0?，PTP?I。 3??（2）. 解： 特征多项式为f(?)?(??1)(??10)2， ??2??2???2??2???????1??当??1代入(?I?A)x?0求得?1??1??2??0? 正交化：b1??1?,b2??4?5???0??0??1????5???????2??1?11e?单位化：e1? ，??25?35?0???2????4? ?5????1??1????1?当??10代入(?I?A)x?0. 求得 ?3??2? 单位化：e3??2? 3???2??????2??1?T 令P?(e1,e2,e3) 原式PAP??0?0?01020??0?，PTP?I。 10??（3）. 解： 特征多项式为f(?)?(??3)?， 3 当??0代入(?I?A)x?0??1???求得?1??1??0?????1????2??0??1??? 正交化： ??1???1???1???1????????111?b1??1?,b2???1? 单位化： e1??1? ，e2???1? 22?6??0??2???0???????2??1??1???1??当??3代入(?I?A)x?0求得 ?3??1? 单位化：e3??1? 3???1????1??0?T 令P?(e1,e2,e3) 原式PAP??0?0?0000??0?，PTP?I。 3?? ?1?2 ．解：P??1?1??2110??2?1??11?容易求得P???26??1???01411??1? 4??2132??6???11?由PAP??0?0?3???0300??0? 3???6?A?P故?0?0?0300??4??1?0?P??1?13????1???3 ．设A为实对应的特征值为?1＝1，?2＝?3＝－1，对应于?1＝1的特征向量为?0?， ?－1???求A。 ?x1?解：设属于?2＝?1的特征向量x??x2?x?3???则由正交性，有?x1??010?1???x3??0??0得一??1???0