《高等数学A（二）》2chapter2（7）多元函数的极值及应用.pptVIP

* Chapter 2(7) 多元函数的极值及应用 教学要求： 1. 理解多元函数极值和条件极值的概念; 3. 会求二元函数的极值, 会用拉格朗日乘数法求条件极值; 2. 掌握多元函数极值存在的必要条件, 了解二元函数极值存在的充分条件; 4. 会求简单多元函数的最大值和最小值, 并会解决一些简单的应用问题. 1.二元函数极值的定义 极大值与极小值统称为极值. 若引进点函数, 则 (1) (2) (3) 2.极值存在的必要条件和充分条件 定理1（极值存在的必要条件） Proof. 注意: (4)驻点 极值点（可偏导函数） 定理2（极值存在的充分条件） Solution. Solution. (1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值: 将函数 f (x,y) 在D内的所有驻点处的函数值与在D 的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最 大值，最小的就是最小值. (2) 实际问题则根据问题的实际意义来判断, 若问题 存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为 所求的最值点. Solution. ex4. 把一个正数a表为三个正数之和，使其乘积最大， 求这三个数. Solution. 1. 条件极值 自变量除了受其定义域限制外还有别的条件限制， 这种情况下的极值称为条件极值. 相应地，前面讨论的极值称为无条件极值. 条件极值与无条件极值的区别和联系，例如 Solution. (1) 显然函数在（0，0）点处取得极小值. 可见，两种极值不同，但条件极值可转化为无条件 极值来求， 称为“降元法”； 并非所有条件极值都能用“降元法”解， 为此必须介绍新的方法. 2. 拉格朗日乘数法 说明F(x, y,?)的可能极值点为上述方程组确定的(x, y). 注意: (1) 拉格朗日乘数法: 解出(x,y)即为可能极值点. 判断是否为最值点通 常由实际问题来定. 解出(x,y,z)即为可能极值点.