对策论模型教程.pptVIP

甲面包店 乙面包店 ?1（降价） ?2（不降价） ?1 （降价） （3，3） （6，－4） ?2 （不降价） （－4，6） （5，5） 依题意，把上述问题表述成如下表格： 这个问题的数学模型可表示为： 一般地，两人有限零和对策的数学模型可表示为 随着A,B的确定，两人有限非零和对策也就确定，因此两人有限非零和对策又称为双矩阵对策。特别，当A=-B时，双矩阵对策就是矩阵对策。 在上述这个竞争对策中，两家面包店在没有互通信息非合作情况下，各自都有两种策略的选择，降价或不降价。显然，双方最好策略的选择都是降价，即（?1，?1）。 因为选择降价至少可以得到3百元的利润，如果选择不降价，则可能由于对方降价而蒙受4百元的损失。当然，在两店互通信息，进行合作的情况下，双方采取不降价的策略，各自都能得到5百元的利润。 例19 设想一个垄断企业已占领市场（称为在位者），另一个企业很想进入市场（称为进入者）。在位者想保持其垄断地位，就要阻绕进入者进入。假定进入者进入之前在位者的垄断利润为300，进入后两者的利润合为100（各得50），进入成本为10。试分析两者的最佳策略。 根据题意，可得如下表格： 在位者 进入者 ?1（默许） ?2（斗争） ?1（进入） （40，50） （－10，0） ?2(不进入） （0，300） （0，300） 对于这个对策问题，经过分析容易得到（?1， ?1）（进入，默许）和（?2， ?2）（不进入，斗争）是双方选择的最好的局势。 二、非合作两人对策的解法 在这里所讨论的两人有限非零和对策中，假定对策双方都了解对方的纯策略集和赢得函数，但不合作，并且局中人在选择自己的策略时不知道对方的选择。 （1）非合作两人对策的解——纳什均衡 一般地，对于非合作两人对策?＝{S1,S2;(A,B)},如果?i*?S1, ?j*?S2分别是局中人1和2的最优纯策略，则称局势(?i*, ?j*)是一个纳什均衡. 求非合作两人对策的纳什均衡解的步骤如下： 1、在双矩阵对策（A,B)表中，对于矩阵A的每列，分别找出赢得最大的数字，并在其下划一横线； 2、在双矩阵对策（A,B)表中，对于矩阵B的每行，分别找出赢得最大的数字，并在其下划一横线； 3、如果表中某格的数字下面都被划上横线，则此格对应于两个局中人相应策略的组合就是一个（纯策略下的）纳什均衡。否则，该对策不存在纯策略下的纳什均衡。 例如： 甲面包店 乙面包店 ?1（降价） ?2（不降价） ?1 （降价） （3，3） （6，－4） ?2 （不降价） （－4，6） （5，5） 在位者 进入者 ?1（默许） ?2（斗争） ?1（进入） （40，50） （－10，0） ?2(不进入） （0，300） （0，300） （2）混合策略纳什均衡 上面所介绍的非合作两人有限对策是在纯策略下有解的对策问题，其特点是纳什均衡中的策略是每一个局中人的一个完整策略。但是有些对策并不存在纯策略下的纳什均衡，如下例： 例20 局中人是政府和一个流浪汉，流浪汉有两个策略：寻找工作或游荡；政府也有两个策略：救济或不救济。政府帮助流浪汉的前提是后者必须试图寻找工作；否则，前者不予帮助；而流浪汉只有在得不到救济时才会寻找工作。下表给出了对策的赢得双矩阵： 流浪汉 政府 ?1（寻找工作） ?2（游荡） ?1 （救济） （3，2） （－1，3） ?2 （不救济） （－1，1） （0，0） 因此，在这个对策问题中，没有一个纯局势可以构成纯策略下的纳什均衡。为求得纳什均衡，必须对矩阵加以扩充 设A,B分别为局中人1和2的赢得矩阵，且皆为m?n矩阵，局中人1，2的混合策略集为： 如果一个混合策略组合（X*,Y*）同时满足 则称策略组合——局势（ X*,Y*）是一个混合策略纳什均衡。 对于上述例题，假定政府以概率x选择救济，以概率1-x选择不救济，即政府的混合策略为(x,1-x)，流浪汉以概率y选择寻找工作，以概率1-y选择游荡，即流浪汉的混合策略为(y,1-y)。那么政府的期望赢得函数为： 用微分求极值的方法： 这就是说，在混合策略中，流浪汉在对付给定政府的混合策略下，最优策略是以1/5的概率选择寻找工作，4/5的概率选择游荡，即Y*=(1/5,4/5) 同样流浪汉的期望赢得函数为： 用微分极值法求： 即在混合策略均衡中，政府在对付给定流浪汉的混合策略下，最优策略是X*=(1/2,1/2)。