第一章_微积分的基础和研究对象.pptVIP

引 言 无论是文科还是理科的大学生，虽然学了多年的数学，仍然对数学的思想、精神了解得很肤浅，对数学的宏观认识和总体把握较差。而这些数学素养，反而是让人终生受益的精华。 数学素养使人终身受益 一个人的学历教育中，从小学一年级到大学一年级，一般要学十三年的数学课程，只有语文课能与之相比；但许多人并未因为学的时间长就掌握了数学的精髓。大多数学生误以为学数学就是为了会做题、能应付考试，不知道“数学方式的理性思维”的重大价值，不了解数学在生产、生活实践中的重要作用，不理解数学文化与诸多文化的交汇。 现在的中学数学教学，较多地让学生做习题，却较少地让学生想问题。在做习题中，又较多地在操作层面上训练解题方法，而较少地在思维层面上培养数学素养。 特别是为了应付考试，教师在教学活动中，往往先把自己变成“类型题”的有效解题者和熟练操作工，再努力把学生也变成“类型题”的有效解题者和熟练操作工。 大学教师常常感到，中学输送来的“好学生”，很会做初等数学中的习题，但不大善于“学数学”。 实际上 ，学生毕业后走入社会，如果不是在与数学相关的领域工作，他们学过的具体的数学定理、公式和解题方法可能大多用不上，以至很快就忘记了；而他们有所欠缺的数学素养，反而是数学让人终生受益的精华。 一位数学教育家说，不管人们从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，都会随时随地发生作用，使人们终生受益。 第一章 微积分基础和研究对象 第一节 将所学过的数归纳如下： 二.邻域 集合表示法： 不等式表示法： 区间表示法： 几何表示法： 邻域 的几何表示： 第二节 分段函数： 例：在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家的富裕程度，也是国际通用的一项重要指标. 函数的性质： 二、反函数的定义: 设函数 ,Y 是值域。如果对于Y 内 的任一 y, D内都有唯一确定的 x 与之对应，使 f (x) = y, 则在Y 上确定了一个函数，这个函数称为 函数 y = f ( x )的反函数。记作 x = f －1( y ), y 属于 Y. 反函数存在性定理： 单调函数存在反函数，且函数与其反函数的单调性相同. 三、基本初等函数 四、复合函数 综上所论: 例：人口模型 已知1978年底我国人口为9.6259亿，当年的自然增长率为12.00‰.若将此增长率作为年均增长率计算，那么到2005年底我国人口将是多少？ 3、对数函数 （1，0） 4、三角函数 正弦函数 余弦函数 y= sinx，y =cos x 的定义域是（－∞，＋∞），值域是[－ 1，1]，以2π为最小周期，有界函数 正切函数 余切函数 5、反三角函数 渐近线 渐近线 把常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数统称为 基本初等函数 中间变量 自变量 基本初等函数 分解复合函数原  原则: 观察各层函数是否为基本初等函数或多项式函数. 初等函数:由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算构成的函数并可用一个式子表示的函数. 表面形式复杂,但依然是初等函数. 指数函数 幂函数 多项式函数 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的. 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 中间变量 中间变量 自变量 × 把一个复合函数分成不同层次的函数,叫做复合 函数的分解. 分段函数:不能用统一的代数式表示的函数.如: 须注意: ☆ 分段函数不是初等函数. ☆ 分段函数不可认为是若干函数的和, 也不是几个函数,而是一个函数.只是 随着自变量 x 取不同范围的值,函数的 表达式不同. 例: 提示与分析： 所给函数是两个函数之和形式，所以f(x)的定义域是使此两个函数同时有意义的取值范围，即应是两个函数定义域的交集。 解: 两个函数和的定义域，是这两个函数定义域 公共部分. 。 。 五、MM 能力培养 数学模型方法简称MM方法.构建数学模型, 欣赏数学模型,进而借鉴数学模型是解决实 际问题的能力. 构建函数模型的步骤与方法: 1)对实际问题的现实原形进行分析,判断所属 的系统,如:力学系统、电学系统、心理学系统 等.分析量的主要矛盾，屏弃次要矛盾，保 留两个主要变量与有关常量.判断所在系统是 否有可借用的公式、定理.如果没有，还须通 过观察、实