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第 5 章习题解答 5.1 证明：(1)偶函数的希尔伯特变换为奇函数； (2)奇函数的希尔伯特变换为偶函数。 证明: （1）设x (t) 为偶函数,则 ˆ 1 x (t ) x (t ) =⊗ πt ˆ 1 1 1 ˆ x −t x =−t ⊗ x t =⊗ =−x t ⊗ =−x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π(−t) π(−t) πt 所以 ˆ x t 为奇函数。 ( ) （2 ）设x (t) 为奇函数,则 ˆ 1 x (t ) x (t ) =⊗ πt ˆ 1 1 1 ˆ x −t x =−t ⊗ =−x t ⊗ x t =⊗ x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π −t π −t πt ( ) ( ) 所以 ˆ x t 为偶函数。 ( ) 5.2 设A(t) 与ϕ(t) 为低频信号，证明 (1) H [A(t) cos[ω t +ϕ(t)] A(t) sin[ω t +ϕ(t)] 0 0 (2) H [A(t) sin[ω t +ϕ(t)] −A(t) cos[ω t +ϕ(t)] 0 0 ˆ X (t) X t 5.3 证明广义平稳过程 与其希尔伯特 ( ) 的相关函数存在下述关系： ˆ (1) R ˆ (τ) = - RX (τ) XX ˆ (2) R ˆ (τ) = RX (τ) XX (3) R ˆ (τ) = RX (τ) X (4) R ˆ (τ) 是奇函数。 XX 1 ˆ 证明: (1) R ˆ (τ) RX (τ) ⊗h(−τ) RX (τ) ⊗ −RX (τ) XX
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