应用随机过程教案 第1章 预备知识.pdfVIP

第一章 预备知识 第一节 概率空间 定义1 设Ω是一个样本空间（或任何一个集合），F 是Ω的某些子集组成的集合 族。如果满足 （1） Ω ∈F ； （2 ） 若A ∈F ，则AC =Ω\A ∈F ；  （3 ） 若An ∈F (n=1,2,…) ，则A n ∈F ， n 1 则称F 为Ω上的一个σ 代数，（Ω，F ）称为可测空间。 性质1 如果是Ω上的一个σ 代数，则 （1） ϕ∈F ；  （2 ）若An ∈F (n=1,2,…) ，则An ∈F 。 n 1 例1 设Ω={1,2,3,4,5,6}, F ={ ϕ ,{1,2},{3,4,5,6},Ω}，则F 是Ω上的一 个σ 代数。 例2 设Ω={1,2,3,4,5,6}，F ={ ϕ,{1},{2}，{3}，{1,2},{1,3},{2，3}，{1,2,3}, {4,5,6}, {1,4,5,6}, {2,4,5,6},{3,4,5,6},{1,2,4,5,6},{1,3,4,5,6}, {2,3,4,5,6},Ω} ，则F 是Ω上的一个σ 代数。 定义2 以Ω的某些子集为元素的集合称为（Ω上的）集类。对于Ω上的任一非 空集类 C，存在包含 C 的最小σ 代数，称为由 C 生成的最小σ 代数。 例3 设Ω={1,2,3,4,5,6}, C ={ {1,2} }，则F ={ ϕ ,{1,2},{3,4,5,6}, Ω}是由 C 生成的σ 代数。 例4 设Ω={1,2,3,4,5,6}, C ={ {1,2}，{1,3} }，则F ={ ϕ,{1},{2}，{3}， {1,2},{1,3}, {2，3}，{1,2,3},{4,5,6},{1,4,5,6},{2,4,5,6},{3,4,5,6}, 1 {1,2,4,5,6},{1,3,4,5,6}, {2,3,4,5,6},Ω}是由 C 生成的最小σ 代数。 定义3 设{A , n 1,2, }为一集合序列。令 n     limsup An Ak ，liminf An Ak n  n  n 1 k n n 1 k n 分别称其为{A } 的上极限和下极限（上极限有时也记作{A ,i.o.} ）显然有 n n limsup A {| 任意n N , 存在k n,使A } {| 属于无穷多个A } n k n n  liminf A {| 存在n N , 任意k n,有A } {| 至多不属于有限多个A } n