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第四章 三角函数 三角函数是我们进入高中继指数函数、对数函数、数列（数列也可看作函数）后重点研究的第四种函数。与前三者相比，它有自己的独门绝技——描述周期现象。这依赖于三角函数所特有的性质——周期性。 同时，为了研究形式上较为复杂的三角函数的性质，我们必须能熟练地进行三角函数的化简（特别是“降次”将伴随整个三角函数的学习）。我们学习三角函数中同角三角函数的关系式、诱导公式、和角与差角公式、二倍角公式的目的正在于此。而无论是获得三角关系，还是研究三角函数的性质，又都依赖于三角函数的定义，它是三角函数这棵大树的根。 一、角的概念及三角函数的定义 问题1 你能在平面直角坐标系中指出2弧度角的终边位置吗？若该角终边上一点A离坐标原点距离为5，则点A的坐标是多少？ 摩天轮 二、同角三角函数关系及诱导公式 问题2 求值：（1）； （2）已知，求的值. 问题3 化简： （1） （2）（为二象限角） 说明：在进行三角求值化简过程中（如开平方、去绝对值时），要特别注意函数值的符号，关键是看清角的范围. 个人思悟：（化简的要求：函数名尽量少（统一函数名）；次数尽可能低（降次）；去根号（升次）；特殊角的三角函数求出值） 练习化简： （1） （2）． 思考：（1）= ； （2）设，且，则的取值范围为 . 问题4 已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3） 个人思悟： 练习 已知.求值： （1） （2） （3） 问题5 已知，且，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 个人思悟： 练习：已知 求： （1） （2） （3） 课后作业： 1．的值为 （ ） A． B． C. D． 2.（1）已知，则= ； （2）已知为二象限角，且，则 . 3.已知角的终边过点，则 . 4.化简：(1) （2）. 5．问题4和问题5都可以看成一类题型，你能自己写出这类问题的特点吗？仿照问题5或其练习编拟一道题.（最简单的变法可以仅换换数据，复杂点就可以改变条件或结论了，甚至可以把其他相关知识也糅合进来，这样综合性就更强了） 三、两角和与差的三角函数、二倍角 诱导公式、二倍角公式都是两角和与差公式的特例. 1．两角和与差的三角函数 2．二倍角公式 = = 3．公式的变形： （1） （2）升幂公式：降幂公式：（一定记住！） 4．辅助角公式： （一定记住！） 例如：= = = = = = ▲三角求值、化简、证明的思路： 1．化异为同：统一角，统一函数名； 2．角度变换（角的关系）：和，差，倍的关系，与特殊角的关系； 3．式子的结构： （1）升降幂：次数高的要降次；有根号要升次（用升降次公式或平方（立方）和（差）公式） （2）公式的逆用、变用； （3）常数代换： （4）消元： 问题1 求下列各式的值： （1）； （2）； （3） 个人思悟： 问题2 （1）已知为第二象限角，，为第一象限角，.求. （2）已知，求. （3）已知，，求. 个人思悟： 练习：已知，且，求，. 问题3 （1）化简： （2）求证： 练习：化简：(1). (2) 个人思悟：从角（的关系）、名（统一）、式（升降次、公式的变形等）三个方面入手寻求切入点，层层推进. 对于一些知值求值的问题，要特别关注角的关系.请看下面的问题4. 问题4 已知，，求的值. 说明：；. 如化简 三角关系问题从题型看，除了前面化简、求值外，还有与求值问题相反的一类问题——知值求角. 问题5 已知都是锐角，且，，求证. 个人思悟：求角问题的求解步骤： （1）求该角的某一三角函数值； （2）确定该角的范围；（很多情况下，在该范围内如果角不唯一，需缩小角的范围：考虑函数值的正负、大小） （3）得角. 练习：已知. （