2904203015,李亚韦,实验四,函数的插值与多项式近似计算.doc

函数的插值与多项式近似计算 2904203015 李亚韦 实验描述 我们在进行数据计算时，很多时候得到的数据并不是真真实实的那样精确，很多时候我们选择不同的方法，选择逼近的方式得到一个在误差范围内的一个较为准确的值，即可满足我们日常生活和科学研究的需要，所以函数的逼近在实际中占有很重要的地位，我们一般用到的方法有泰勒多项式逼近，牛顿多项式逼近，拉格朗日逼近，帕德逼近等，每种方法当然有不同的优势和劣势，不同的场合选择不同的方法。 泰勒多项式逼近：将函数按照泰勒级数展开，（1） 其中c为x和中的某值。当满足误差要求时，我们就认为逼近函数与原函数相等。 牛顿多项式逼近：牛顿多项式的递归关系如下 其中,如此关心递归下去得到更为近似的函数值。 拉格朗日逼近：拉格朗日逼近多项式 其中，当j=k时，。 帕德逼近：， 帕德逼近要求及其导数在x=0,出连续。设通过以下关系可以求得前面各未知系数， 实验内容 利用泰勒多项式逼近，牛顿多项式逼近，拉格朗日逼近，帕德逼近求解的逼近，在同一坐标系下画出原函数和各种逼近的图像，并求出各种逼近的最大误差。 泰勒多项式逼近： syms x %定义符号函数x y=tan(x); t9=taylor(y,10,0) %将函数进行9阶泰勒展开 所得结果如下： t9 =(62*x^9)/2835 + (17*x^7)/315 + (2*x^5)/15 + x^3/3 + x 但对t9和y进行绘图时，程序如下： syms x y=tan(x); t9 =(62*x.^9)/2835 + (17*x.^7)/315 + (2*x.^5)/15 + x.^3/3 + x; figure(1),ezplot(t9,[-pi,pi]) hold on %保持前一句指令，以确保下面的画图指令所画图形在同一个图形中 ezplot(y,[-pi,pi]) %图1画泰勒多项式逼近曲线图和原函数y=tan(x)图 en=tan(x)-t9; %求误差函数 figure(2),ezplot(en,[-1,1]) %图2画误差函数曲线图 拉格朗日多项式逼近： syms x t=linspace(-1,1,10); %在-1到1间平均生成10个数字， %起始数位-1，第十位数为1 y1=tan(t); l=zeros(10,10); for k=1:10 V=1; for i=1:10 if k~=i V=conv(V,poly(t(i)))/(t(k)-t(i)); end end l(k,:)=V; end c=y1*l; %求解时的系数 xj=[x^9,x^8,x^7,x^6,x^5,x^4,x^3,x^2,x,1] c=c*xj; %求函数 figure(1),ezplot(c,[-pi,pi]) hold on y=tan(x); ezplot(y,[-pi,pi]) %图1画拉格朗日多项式逼近曲线图和y=tan(x)图 en=y-c; %误差函数 figure(2),ezplot(en,[-1,1]) %图2画误差函数曲线图 牛顿插值多项式逼近： syms x t=-1:2/9:1; %将t在-1到1间分为10份 y=tan(t); d=zeros(10,10); d(:,1)=y; for j=2:10 for k=j:10 d(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1))/(t(k)-t(k-j+1)); end end c=d(10,10); %计算牛顿差值系数 for k=9:-1:1 c=conv(c,poly(t(k))); m=length(c); c(m)=c(m)+d(k,k); end %计算时的系数 xj=[x^9,x^8,x^7,x^6,x^5,x^4,x^3,x^2,x,1]; c=c*xj; figure(1),ezplot(c,[-pi,pi]) %图1画牛顿插值多项式逼近曲线图和y=tan(x)图 hold on y=tan(x); ezplot(y,[-pi,pi]) en=tan(x)-c; figure(