【理学】偏微分方程数值解ppt模版课件.ppt

* 故 通过仿射变换消去?、? ，就得到 上的形状函数。 令 由 为二次函数，可求得 设 * 插值条件：给定I?I上十六个插值节点(见图) 。　　　　　　　 求：双三次函数 满足 设 ③ 双三次插值 * 故 令 由 为三次函数，可求得 * 可以在四个顶点分别给定函数值、两个一阶偏导数的值和二阶混合偏导数的值(共十六条件)，确定一个双三次多项式的十六个系数。 （2） Hermite型公式 Lagrange型公式中不出现导数，这样的试探函数只属于 。为了得到属于 的试探函数，需要Hermite型插值公式。 双三次多项式含有十六项： 简单且常用的是不完全的双三次多项式插值。它去掉双三次多项式中的 项。 * 插值条件：给定I?I上四个插值节点。　　　　　　　 求：不完全双三次函数 满足 四个顶点处 的函数值等于 在该点的函数值； 四个顶点处 的值等于 在该点的值； 四个顶点处 的值等于 在该点的值。 根据仿射变换 则可将原插值问题转化为I?I上的插值问题。 * 满足 四个顶点处 的函数值等于 在该点的函数值； 四个顶点处 的值等于 在该点的值乘以?x； 四个顶点处 的值等于 在该点的值乘以?y。 插值条件：给定I?I上四个插值节点 (0,0)、(1,0)、(0,1)、 (1,1) 。　　　　　　　 求：不完全双三次函数 类似于Lagrange型公式的构造，可以求得 上的形状函数。 * 在三角形元的有限元方法中，先将定解区域G化分为若干个小三角形（称作单元）。然后在每个单元上构造插值型函数，并用分片函数（但整体连续的函数）代替变分问题或变分方程中所需求解的函数。 4 二维问题的三角形元 用有限元求解二维椭圆边值问题时，应用最广的是三角形元。 * （1）三角剖分 将定解区域化分成若干个小三角形单元 时应注意： ③ 为了保证有限元解的精确度和收敛性，并避免其离散后代数方程组系数矩阵的病态性，网格剖分中疏密的过渡不要太陡。 错误 为了保证有限元解有较好的 精度，每个单元中应尽量避免出现大的钝角。 应避免 ④ 单元顶点的编号顺序可以任意，但节点编号顺序将影响有限元方程组系数矩阵的结构（带宽）。 ① 为了方便构造插值型函数，要求每个单元的顶点是相邻单元的顶点。 * （2）面积坐标及有关公式 在三角形单元上构造插值型函数，并不简单类同于矩形单元。 ① 面积坐标 考虑一个面积为S的三角形单元，其顶点按反时针顺序记为i, j, k。在此单元内部任取一点p(x,y)，连接p和三个顶点 ，此单元则被分成三个小三角形它们的面积记为　 和 。 i j k P(x,y) 记 单元内任一点p(x,y)的位置与三维数 一一对应，称　　　 为面积坐标。 * 面积坐标和直角坐标之间的关系： ② 面积坐标与直角坐标的关系 面积坐标与坐标系无关，这是采用面积坐标的优点 面积坐标有性质： * 由于面积坐标满足　　　　　　，将其代入 得： ③ 任意三角形到标准等腰直角三角形的变换 将　　 看作是某一平面的坐标，则上式表明了一种变换。可以证明它把X-Y坐标系的任意三角形单元映射为 坐标系中的标准等腰直角三角形单元。且 o Y X o * 即该变换是仿射变换。 这个变换的Jacobi行列式 该变换除了能将三角单元仿射变换为标准三角单元，还能将三角单元上的插值型函数变换为标准三角单元上的同类型函数。因此，采用面积坐标可使计算工作简单化、标准化。 另外，利用面积坐标表示的齐次多项式在?(i,j,k)上的积分也非常容易计算。即 其中p, q, r是任意非负整数。 * 一般在三角形元 上，构造一个m次完全多项式 （3）Lagrange型公式 两个变量x, y的高次多项式可用Pascal三角形表示： 故Lagrange型插值需要 个节点的函数插值条件。 逼近u(x,y)时，该多项式 具有的项数为 * ① 一次多项式 是一次多项式，插值节点数是3。取?(1,2,3)的三个顶点为插值节点，运用待定系数法，易得