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第四章 损失分布 一、基本概念 • 1.随机变量及其分布 个别保险标的的损失是不确定的，因而损失额可以用 一个随机变量来描述；大量标的的损失分布又是有一定规 律可寻的，所以损失额随机变量可用它的概率分布来刻划。 定义1： 取值依赖于随机现象基本结果的变量， 称为随机变量，常用X 、Y 、Z等大写字母表示。 定义2 ：随机变量X取值不超过实数x 的概率， 称为随机变量X 的分布函数，记作 F (x) P(X x), x R • 2.随机变量的数字特征 随机变量的分布函数、分布列和密度函数全面刻划了随机 变量的分布规律，然而，有时更需要反映随机变量分布的主要 特征，如随机变量的平均取值、离散程度等等，这就是随机变 量的数学期望、方差等数字特征。  x p ，x是离散的  i i 期望，E (X ) i 1    xf (x )dx ，x是连续的  2 2 2 方差，Var( X) EX E( X) E( X ) [ E( X)] k 矩，设c为常数，k为正整数，则E( X c) 称为X 关于c点的k阶矩。 c 0时，  EX k 称为X 的k阶原点矩；  k k c EX 时，  E(X EX ) 称为X 的k阶中心距。  k 二、正态分布和中心极限定理 • 1.正态分布 正态分布是最重要的连续型分布，它刻划了受许多微小的、相互独 立的随机因素综合影响的变量的分布。数学家高斯（Gauss ）在研究误 差理论时用它来刻划误差的分布。因而人们也常称其为Gauss分布。 (x )2 1  2 f (x ) e 2 ，x R 2 E (X )  Var( X) 2 • 2.中心极限定理 正态分布在统计理论和非寿险精算中的特殊重要性在于中心极限定 理。中心极限定理是关于大量独立随机变量和的极限分布为正态分布的 一类定理。这里介绍独立同分布中心极限定理。 设X ，X ，X ，是一列具有相同分布，互相独立的随机变量，E (X ) ， 1 2 n i 2 Var( X )  0，i 1,2, ，则 i n X i n lim P( i 1 x) (x) n  n