双线性变换法就是从克服混叠失真的角度出发-read.pptVIP

第五章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法(3) 尚 勇 § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 下面分别画出上式中的|Ha(jΩ)|和|H(ejω)| § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） §5.5 由模拟滤波器到数字滤波器的设计举例 由模拟滤波器到数字滤波器设计举例 模拟低通滤波器设计方法简介 模拟低通滤波器设计方法简介 * * 上节介绍的冲激响应不变法是一种线性映射的设计方法，其缺点是会产生频率响应的混叠失真，这主要是因为从s平面到z平面的映射是多值（多对一）的映射关系。双线性变换法就是从克服混叠失真的角度出发，寻找从s平面到z平面的单值映射关系。 其原理是先将s平面进行压缩至s1平面，再将压缩的s1平面向z平面进行单值映射。由于这种映射是单值的，可以很好的克服频率响应的混叠失真，但值得注意的是，这种映射是非线性的 一、变化原理 双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法，其变换原理为： 1、首先把整个s平面压缩变换到某一s1平面的一条横条内（从-π/T 到 π/T）； 2、利用z=es1T 将s1平面内的横条变换到整个z平面上去。 图7 双线性变换的映射关系 这种映射显然是单值映射，有效地克服了混叠失真 (1) s平面 s1平面： 将s平面整个虚轴j?压缩至s1平面虚轴j?上的 (-?/T，?/T)这一段内，压缩关系为： 通过上式就将?(-?，?) ?1(-?/T，?/T) 其中+? ?/T，-? -?/T，0 0 (5.17)式按指数形式展开可另写为： 将这一压缩变换延拓至整个s平面和s1平面有 (2) 将 s1 平面映射到 z 平面 (映射关系如下 ) 结合(1)、(2)两步变换，可得双线性变换法中由 s 平面 z 平面的单值映射为 以上就是双线性变换的原理及映射公式。 实际上，为了设计上的灵活性，如为了使模拟滤波器的某一特定频率与数字滤波器的任一频率有对应关系（由于非线性映射，使得模拟频率和数字频率不再是线性对应关系），可引入待定常数c，通过c的选择来实现不同的频率对应关系。 加入常数c之后的双线性变换公式为 二、变换常数c的选择 前面提到，常数c的选择（改变）为模拟滤波器到数字滤波器频率的映射提供了一定的灵活性，通过常数c的不同选择可以起到灵活调节数字滤波器频带的作用。 常用选择c的方法和依据、准则主要有： 因为当?1＝? / T 较小时，有 根据(5.21)式可知，此时 即当c=2/T时，可保证模拟滤波器低频特性近似于数字滤波器的低频特性 1、选择c，使得模拟滤波器和数字滤波器在低频端有较确切的对应关系，即在低频端有?＝?1 2、选择c，使数字滤波器的某一特定频率（如截止频率ωc=Ω1cT）与模拟滤波器的一个特定频率Ωc=2?fc严格对应，即 这种选择的优点在于：在特定的模拟频率和特定的数字频率处，有严格相等的频率响应，因而可以较准确地控制截止频率的位置。 此时有 三、双线性变换法优缺点分析 双线性变换法的主要优点是避免了频率响应的混叠现象。 关于这一点，通过前面的图7和（5.17）式和（5.21）式就可以清楚的看到。 下面再具体说明一下双线性变换法的有效性（正确性） 首先将z=ej?代入(5.23)式，可得 即s平面的虚轴的确与z平面的单位圆相对应(j? ej?) 其次，将s=?+j?代入(5.24)式，有 此时z的模为 讨论： 所以，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的 π 0 - π ∞ 0 -∞ ω Ω 根据Ω和Ω1, ω的关系，由（5.21）式，及ω= Ω1T的关系式可得到双线性变换法的模拟角频率Ω和数字频率ω之间的变换关系为 关键频点的对应关系： 它表示? ?是单值的一一对应的映射关系 ω Ω/c -π π Ω=ctan(ω/2) 上述