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立体几何巩固练习 例1：（07福建?理?18题）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点. （Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小； （Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离； 解答：解法一：（Ⅰ）取中点，连结． 为正三角形，． 正三棱柱中，平面平面， 平面． 连结，在正方形中，分别为 的中点，，．在正方形中，， 平面． （Ⅲ）中，，． 在正三棱柱中，到平面的距离为． 设点到平面的距离为． 由得， ． 点到平面的距离为． 解法二：（Ⅰ）取中点，连结． 为正三角形，． 在正三棱柱中，平面平面， 平面． 取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，， ，，． ，， ，． 平面． （Ⅱ）设平面的法向量为． ，． ，， 令得为平面的一个法向量． 由（Ⅰ）知平面， 为平面的法向量． ，． 二面角的大小为． （Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量， ． 点到平面的距离． 例题2：（2009北京卷理）（本小题共14分） 如图，在三棱锥中，底面， 点，分别在棱上，且 （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由. 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． （Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC. 又，∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面PAC. 【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系， 设，由已知可得 . （Ⅰ）∵， ∴，∴BC⊥AP. 又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC. （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的， ∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC， ∴. ∴与平面所成的角的大小. （Ⅲ）同解法1. 例3:(2008年福建理科)：如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD， 侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形， 其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD； (Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值； (Ⅲ)求点A到平面PCD的距离. 解法一： （Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD. 又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD. （Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC， 有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB∥DC. 由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角. 因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝， 在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1， 在Rt△PBO中，PB＝, cos∠PBO=, 所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为. (Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝， 在Rt△POC中，PC＝， 所以PC＝CD＝DP，S△PCD=·2=. 又S△= 设点A到平面PCD的距离h， 由VP-ACD=VA-PCD， 得S△ACD·OP＝S△PCD·h， 即×1×1＝××h， 解得h＝. 解法二： （Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz. 则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0）， D（0，1，0），P（0，0，1）. 所以＝（-1，1，0），＝， 〈、〉=， 所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为， （Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0）， 由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0）， 则　　n·＝0，所以　　-x0+ x0=0, n·＝0，　　　　-x0+ y0=0，　即x0=y0=x0,　　　　 取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1). 又=(1,1,0). 从而点A到平面PCD的距离d＝ 例题4：（2009江西卷理）（本小题满分12分） 在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点. （1）求证：平面⊥平面； （2）求直线与平面所成的角的大小； （3）求点到平面的距离. 解依题设知，是所作球面的直径，则M⊥MC. 又⊥平面，则⊥CD，又⊥AD， ⊥平面ＰＡＤ，则⊥AM，⊥平面， 平面⊥平面. 可求得PC=6.因为AN⊥NC，由，得PN.所以. 故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的. 又因为M是PD的中