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立体几何专项突破 一．球的问题 1.（安徽?理?8题）半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为（ ） A． B． C． D． 2．（福建?理?10题）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，则A、C两点间的球面距离为（ B ） A ． B． C ． D． 3．（）1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ D ） A． B． C． D． 4．（陕西?理?6题）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ） 　　A． B． C． D． 5．（四川?理?6题）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且三面角B-OA-C的大小为，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（ C ） A． B． C． D． 6.已知球的半径是1，、、三点都在球面上，、两点和、两点的球面距离都是，、两点的球面距离是，则二面角的大小是（ C ） （A） （B） （C） （D） 二．解答题 7．（全国Ⅰ?理?19题）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。 (Ⅰ)证明：SA⊥BC； (Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小； 解答：解法一： （Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面． 因为，所以， 又，故为等腰直角三角形，， 由三垂线定理，得． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设， 故，由，，，得 ，． 的面积． 连结，得的面积 设到平面的距离为，由于，得 ， 解得． 设与平面所成角为，则． 所以，直线与平面所成的我为． 解法二： （Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面． 因为，所以． 又，为等腰直角三角形，． 如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系， ，，，，， ，，所以． （Ⅱ）取中点，， 连结，取中点，连结，． ，，． ，，与平面内两条相交直线，垂直． 所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余． ，． ，， 所以，直线与平面所成的角为． 8．（四川?理?19题）如图，四边形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°. （Ⅰ）求证：平面⊥平面； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥的体积； 分析：本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。 解法一： （Ⅰ）∵ ∴， 又∵ ∴ （Ⅱ）取的中点，则，连结， ∵，∴，从而 作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，， 从而为二面角的平面角 直线与直线所成的角为 ∴ 在中，由余弦定理得 在中， 在中， 在中， 故二面角的平面角大小为 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形 ∴ 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图） 由题意有，设， 则 由直线与直线所成的解为，得 ，即，解得 ∴，设平面的一个法向量为， 则，取，得 平面的法向量取为 设与所成的角为，则 显然，二面角的平面角为锐角， 故二面角的平面角大小为 （Ⅲ）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离 ∵，∴ 9．（湖北?理?18题）如图，在三棱锥V-ABC中，C⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点， ，又底面．．于是平面． 又平面，平面平面． （Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面． 连接，于是就是直线与平面所成的角． 在中，； 设，在中，，． ，，． 又，． 即直线与平面所成角的取值范围为． 解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 于是，，，． 从而，即． 同理， 即．又，平面． 又平面．平面平面． （Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为， 则由． 得 可取，又， 于是， ，，． 又，． 即直线与平面所成角的取值范围为． 10．（浙江?理?19题）在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，，M是AB的中点。 （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角； 方法一： （I）证明：因为，是的中点， 所以．又平面，所以． （II）解：过点作