单元49二重积分与平面上的面积.pdfVIP

經濟系微積分(98學年度) 單元 49: 二重積分與平面上的面積 單元 49: 二重積分與平面上的面積 (課本 x7.8) 設雙變數函數 f (x; y) 對 x 的偏導函數為 fx (x; y) = 2xy 問 f (x; y) 為何? 答 . 根據微分與積分的互逆性 , 以及計算對 x 的偏導函 數時 , 需要將 y 固定, 視為常數, 僅運用微分規則, 對 x 微分 , 故在逆運算中, 計算對 x 的不定積分時, 亦需將 y 固定, 視為常數, 僅運用積分規則, 對 x 積分 , 得 f (x; y) = Z fx (x; y)dx = Z 2xydx = 2y Z xdx 1 2 = 2y
x + C (y) 2 = x2y + C (y) 其中第三個等號成立乃因為對 x 積分時, 視 y 為常數, 故可提出, 且第四個等號中的 C (y) 為對 x 積分的積分 常數, 內含 y 的式子, 不限於一般的實數 , 而是對一個變 1 中大數學系于振華 經濟系微積分(98學年度) 單元 49: 二重積分與平面上的面積 數 x 而言, 為更廣義的常數, 因為將 C (y) 對 x 作偏微 分時, 由於雖含 y 的式子, 不是一般的實數 , 但不含有任 何的 x , 故依然視為常數, 而得出 0. 驗證 . 將上式對 x 微分 , 並視 y 為常數, 得 @ 2 [x y + C (y)] = 2xy + 0 = fx (x; y) @x 原式成立, 故 f (x; y) 確實為 x2y + C (y) 定義 . 這種只對一個變數的積分 , 稱為偏積分 (partial integration). 問. 如何求定積分? 答 . 舉例 , 對 x 的定積分 Z 2y 2xydx 1 為何? 其中上積分極限為一含 y 的式子, 此乃合理的 , 因為對 x 積分時, 視 y 為常數, 而不是只有實數才視為 常數. 2 中大數學系于振華 經濟系微積分(98學年度) 單元 49: 二重積分與平面上的面積 因為微分與積分的互逆性 , 以及對 x 求偏導函數時 , 僅運 用微分規則對 x 微分 , 故根據微積分基本定理 , 先求出對 x 的偏積分 , 再將上下積分極限代入積分變數 x 內, 並求 其差 , 得 Z 2y 2xydx = x2y + C (y)2y 1 x=1 = [(2y)2y + C (y)]