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推薦蔡聰明教授的 《微積分歷史步道 》 王聖淵 臺北市立陽明高中數學教師 書名：微積分的歷史步道 作者： 蔡聰明 出版社：三民書局 出版日期：2013 出版資料：平裝本，408頁 ISBN ：978-957-14-5804-5 一、前言 本書作者蔡聰明是臺灣 大學數學系退休教授。他多年來從事數學教育與普及 數學的工作 ，對於推動及普及數學知識不遺餘力。在著述方面，他選題獨 到，講 解清楚，並且反映出廣博的文化素養 除了本書之外，。 他也著有《數學拾貝 》、《數 學的發現趣談》、《從算術到代數之路 》等，多本針對中學學生及教師閱讀的科普 書， 它們都很適合中學教師閱讀，亦可做為學生課外閱讀的專書。 二、本書內容簡介 這是一本為學習微積分的人而寫的微積分發展史，無論是初學者或是學過微 積分的讀者，這本書都是極佳的參考讀物 。蔡教授有鑑於目前的微積分發展史論 著 ，幾乎都是為數學史家而寫的，不適合一般讀者研讀，再加上一般的微積分教 科書 ，通常都是逆著歷史的發展順序書寫，缺乏微積分知識的 探索意義 ，因此， 他根據多年的教學經驗，決定透過微積分的發展史進路 ，來呈現微積分的內容與 精神。 不過，儘管本書討論的是有關微積分的歷史與素養，但其可貴 之處 ，則在於 取材面廣又鉅細靡遺，讀者看了對微積分的整體概念必定獲益良多 。舉例來說 ： 有關微積分的先驅工作 －第 3章〈阿基米德的巧思妙想〉談的是思想、第 4章〈求 積方法的演進〉及第 5章〈求切線方法的演進〉談的是技巧 、第7章〈運動現象 的研究〉談的是運動 ，都是為第 10章〈牛頓如何發現微積分〉與第 11章〈萊布 尼茲如何發現微積分〉鋪路，讓微積分正式登場 。 1 現將內容分述如下 。首先 ，第 ０章－攀登微積分聖山。作者將微積分比喻成 「聖山 」，兩千多年來，無數的信徒來到這座山朝聖，而求積、求切、求極以及 研究運動現象等四類問題 ，促成了微積 分的誕生，其中，求切線與求積分皆涉及 「無窮步驟」。山中住著無窮大∞與無窮小dx這兩個神通廣大精靈，具有超能 力，能夠幫助人類解決「無窮步驟」的困境。人們留著汗，一步一腳印，一棒接 一棒，攀登了兩千多年，最終由牛頓與萊布尼茲最先攻頂成功。他們請出了極限 dy 與兩位無窮小精靈dx 與dy ，合力相除，做出 ，發現了微分法與微積分根本 dx 定理。因此 ，我們要攀登它，重走一趟微積分的歷史步道，並且欣賞沿途的數學 之美。 第 1章－畢氏學派發現無窮：西元前六世紀 ，畢達哥拉斯經過一番的分析 與思辨，讓畢氏學派在離散的世界觀下 ，有了如下的看法 ：「線段是有窮可分割 」， 點的長度「 0 」，「任何兩線段皆可共度 」，以及「有理數就夠幾何度量之用 」。在 這個基礎之上 ，畢氏學派探討幾何圖形的規律，建構幾何的知識系統，算是相當 成功。但是 ，幾何線段的度量問題與求積問題，讓古希臘人遇到了無窮，產生許 多矛盾而又無法有效的解決，而震垮了畢氏學派的幾何學，導致「希臘人對無窮 的恐懼 」。一直到十七世紀，牛頓與萊布尼茲才找到普遍的方法，亦即「微分法 」， 馴服了無窮，揭開了一切求積與變化之謎 。但微積分的基礎又經歷了兩百年的奮 鬥，直到十九世紀末才完成，而真正馴服「無窮」。整個歷程合起來計算，微積 分的發展時間至少長達2500 年。 第 2章 「從有涯飛越到無涯之路 」。畢氏學派的垮台引出求積的難題， 與十 七世紀微積分即將現身時的 主要困難 一樣，都是遇到了 「無窮」概念。因為切線 和面積的答案都躲在 「無窮遙遠的彼岸」，所以，都需要經過 「無窮的步驟」才 可以得到 。清楚地瞭解 與掌握這些概念後，難題才真正解決，其間跨越兩千餘年 的鴻溝 。本章由 「線段的長度 」切入，採用萊布尼茲 「無窮小」記號，看出了微 分與積分的互逆性，而得到微積分根本定理 。這開出一條微積分的捷