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一、实验目的 掌握离散傅里叶变换的有关性质。 利用matlab验证有关性质。 利用傅立叶变换进行相关运算。 二、实验原理及方法 在工程技术的许多分支中，要掌握的基本内容之一就是正确理解时域和频域的关系。对于数字系统来说，就是要精通离散傅立叶变换，因此离散傅立叶变换在数字信号处理中占有十分重要的地位。在实际应用中，有限长序列有相当重要的地位，由于计算机容量的限制，只能对过程进行逐段分析。由于有限长序列，引入DFT(离散付里叶变换)。 傅里叶变换 建立以时间t为自变量的“信号”与以频率f为 自变量的“频率函数”(频谱)之间的某种变换关系。 所以“时间”或“频率”取连续还是离散值, 就形成 各种不同形式的傅里叶变换对。 四种不同傅里叶变换对 傅里叶级数(FS)：连续时间, 离散频率的傅里叶变换。周期连续时间信号傅里叶级数(FS)得到非周期离散频谱密度函数。 傅里叶变换(FT)：连续时间, 连续频率的傅里叶变换。非周期连续时间信号通过连续付里叶变换(FT)得到非周期连续频谱密度函数。 序列的傅里叶变换(DTFT):离散时间,连续频率的傅里叶变换。非周期离散的时间信号(单位园上的Z变换(DTFT))得到周期性连续的频率函数。 离散傅里叶变换(DFT):离散时间, 离散频率的傅里叶变换。 上面讨论的前三种傅里叶变换对,都不适用在计算机上运算, 因为至少在一个域( 时域或频域)中, 函数是连续的。因为从数字计算角度我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况, 这就是第四种离散傅里叶变换。 离散傅里叶级数(DFS) 设 为周期为N的周期序列, 则其离散傅里叶级数(DFS) 变换对为: 正变换 逆变换 其中 利用MATLAB实现傅立叶级数计算 编写函数实现DFS计算 function xk=dfs(xn,N) n=[0:1:N-1]; k=n; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n’*k; WNnk=WN.^nk; xk=xn* WNnk; 例：xn=[0,1,2,3]，N=4 xn=[0,1,2,3]; N=4; xk=dfs(xn,N)’ 逆运算IDFS function xn=idfs(xk,N) n=[0:1:N-1]; k=n; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n’*k; WNnk=WN.^(-nk); xn=xk*WNnk/N; 离散傅立叶变换的正、逆变换定义为： 比较正、逆变换的定义式可以看出，只要把DFT公式中的系数 改为 ，并最后乘以1/N，那么，DFT的计算程序就可以用来计算IDFT。 例：已知序列 试绘制序列及其傅立叶变换幅度谱 N=100; n=0:N-1; xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); xk=dft(xn,N); magxk=abs(xk); subplot(2,1,1) plot(n,xn) subplot(2,1,2) k=0:length(magxk)-1; plot(k,magxk) DFT的应用 DFT在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、通讯理论方面有广泛的应用。 DFT的特性 周期性 对称性 线性 时移 频移 共轭 折叠 实序列的对称性 卷积 利用MATLAB对DFT的特性进行验证 例： 分析：因为x(n)是复指数，它满足周期性，我们将在两个周期中的401个频点上作计算来观察其周期性。 n=0:10; x=(0.9*exp(j*pi/3)).^n; k=-200:200; w=(pi/100)*k; X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n*k); magX=abs(X); angX=angle(X); subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX/pi); 检验频移特性 乘以复数指数对应于一个频移 令 n=0:100; x=cos(pi*n/2); k=-100:100; w=(pi/100)*k; X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n*k); y=exp(j*pi*n/4).*x; Y=y*(exp(-j*pi/100)).^(n*k)