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微积分初步 中央电大课程讨论 湖南电大BBS讨论 岳阳电大BBS讨论 微积分初步 第一章 函数、极限与连续 　　 1．函数　　常量与变量，函数概念，基本初等函数，复合函数，初等函数，分段函数。　　2．极限　　极限的定义，极限的四则运算。　　3．连续函数　　连续函数的定义和四则运算，间断点。 函数 辅导知识点 极限与连续 求极限方法举例 基本初等函数 1）幂函数 2）指数函数 3）对数函数 4）三角函数 5）反三角函数 1.幂函数 2.指数函数 3.对数函数 4.三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 复合函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 练习：P10 11 教学目的： ⒈知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道极限存在的充分必要条件。 ⒉了解无穷小量概念，知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即： ⒊掌握极限的四则运算法则，掌握一个重要极限，掌握求极限的一般方法。 　 ⒋了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。 教学重点： 1、函数极限 2、一个重要极限的计算； 3、无穷小的概念、性质 教学难点： 点连续及间断点的判断。 一、主要内容归纳： （一）函数极限 1、数列极限 按一定规律排列的一串数 称为数列，记为 。第n项称为数列的通项。数列可看作是定义在正整数集合上的函数，即 （n=1,2,3……） 讨论n无限增大时 的变化趋势： 数列极限定义： 一数列 ，若当n无限增大时， 无限趋近某个固定常数A，则称当n趋于无穷时，数列 以A为极限。 记为 2、函数极限 定义：函数 ，若当 趋近于○时，函数 趋近一个确定的常数A，则称当 趋于○时，函数 以A为极限。记为 注意：1、以上是一个符号系统，构成极限定义， 缺一不可； 2、极限过程x→○是指 x→x0, x→x0 －, x→x0 ＋, x→∞, x→＋∞, x→－∞中的一种。 3、极限存在的充要条件 例、设函数 求x=0点的左右极限，并判断在x=0点是否存在极限 解： 因为在x=0处左右极限不相等，所以在x=0处极限不存在 4、无穷小量 以零为极限的变量称为无穷小量； 因为 例1 例2 时的无穷小量. 因为 时的无穷小量. 所以 所以 无穷小量的重要性质： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 如 当 时， 是无穷小量 5、极限的四则运算 对某一极限过程x→○， 若limu＝A，limv＝B，则有： 1、lim(u±v) ＝limu±limv＝A±B； 2、lim(u·v) ＝limu·limv＝AB 若v＝c (c是常量)，有lim(cu) ＝climu＝cA； 3、 推论：①、limun＝(limu)n ＝An （n为自然数） ②、lim （n为自然数） ③、limC＝C （C是常数） (1) 6.一个重要极限 重要极限推广形式 注：这里教材中相应公式原来x的位置，统统被“（）”取代，它可以是任一有意义的函数，这时的公式实际比原公式应用更广。并给学者提供了想象空间，不具体给出函数形式。 例： 解 1 cos lim 0 此题中用到 x x = ? 4、求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.分子分母有理化求极限； d.无穷小因子分出法求极限; e.利用无穷小运算性质求极限; f.利用左右极限求分段函数极限. 例2 解 例1 解：原式 a.多项式与分式函数代入法求极限; * * 课程的性质与任务 《微积分初步》是计算机和数控专业的一门必修的重要基础课程，通过本课程的学习，使学生对一元函数微分、积分有初步认识和了解，使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，并逐步培养学生逻辑推理能力、自学能力，较熟练