通过MATLAB求二阶全微分方程解析解通过MATLAB求二阶全微分方程解析解.docVIP

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2018-04-26 发布于贵州
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通过MATLAB求二阶全微分方程解析解通过MATLAB求二阶全微分方程解析解

对于二阶全微分方程a ，不同的a,b,c取值会求出不同的解析解，解析解又是由齐次解和特解组成。其中，齐次解由特征方程决定，而特解的决定因素则比较复杂。对于二阶全微分方程的分析，我们大致分为三种情况： b^2-4ac0(两个不同的实根) b^2-4ac=0（两个相同的重根） b^2-4ac0（两个不同的复数根）对三种情况进行MATLAB编程，分析齐次解和特解后，再改变W的值，观察解析解的变化 b^2-4ac0的情况 STEP1：求解析解 s1=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=0,y(0)=2,Dy(0)=0,t); s2=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(t),y(0)=2,Dy(0)=0,t); s3=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(2*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t); s4=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(5*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t); s5=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(13*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t); s6=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(25*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t); STEP2：绘制图形（1）求w=1情况下的通解和齐次解 t=1:0.1:10; s1=4*exp(-t)-2*exp(-2*t) %general solution s2=-3/10*cos(t)+1/10*sin(t)-11/5*exp(-2*t)+9/2*exp(-t) %special solution subplot(2,1,1); plot(t,s2); xlabel(t) ylabel(y(t)) title(general solution ) subplot(2,1,2); plot(t,s1); xlabel(t) ylabel(y(t)) title(special solution) Figure1-1 (2)求通解随w变化的规律 A.w在（0,1）之间的全微分方程通解 clc clear all s1=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=0,y(0)=2,Dy(0)=0,t); l2=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(0.05*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t); l3=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(0.15*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t); l4=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(0.25*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t); l5=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(0.5*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t); l6=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(0.75*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t); t=1:0.1:10; s1_n = eval(s1); l2_n = eval(l2); l3_n = eval(l3); l4_n = eval(l4); l5_n = eval(l5); l6_n = eval(l6); hold on plot(t,s1_n); plot(t,l2_n,m*); plot(t,l3_n,rx); plot(t,l4_n,g^); plot(t,l5_n,bp); plot(t,l6_n,ko); hold off B.w在（1,+）之间的全微分方程通解 t=1:0.1:10; s1=-2*exp(-2*t)+4*exp(-t); s2=-3/10*cos(t)+1/10*sin(t)-11/5*exp(-2*t)+9/2*exp(-t); s3 =-3/20*cos(2*t)-1/20*sin(2*t)-9/4*exp(-2*t)+22/5*exp(-t); s4 =-15/754*cos(5*t)-23/754*sin(5*t)-63/29*exp(-2*t)+109/26*exp(-t); s5=693/170*exp(-t)-39/29410*cos(13*t)-359/173*exp(-2*t)-167/29410*sin(13*t); s6=-1283/629*exp(-2*t)-75/393754*cos(25*t)+2529/626*exp(-t)-623/393754*sin(25*t); hold on plot(t,s1); plot(t,s2,m*); plot(t,s3,rx); plot(t,s4,g^); plot(t,s5,bp); plot(t,s6,ko); hold off 结论：在b^2-4ac0的情况下，特解的形式是C1*