2018年甘肃省会宁县第二中学高中数学选修2-1同步练习 3.2第4课时（新人教A版选修2-1）.docVIP

第3章 3.2 第4课时 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　　) A.a　　　　　　　　　　B.a C.a D.a 解析：　以D为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为a， 则A1(a,0，a)，A(a,0,0)，M，B(a，a,0)，D(0,0,0)， 设n＝(x，y，z)为平面BMD的法向量， 则n·＝0，且n·＝0， 而＝，＝. 所以 所以 令z＝2，则n＝(－1,1,2)，＝(a,0，a)， 则A1到平面BDM的距离是d＝＝a. 答案：　A 2.如图所示，在几何体A－BCD中，AB面BCD，BCCD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD中点，则AE的长为(　　) A. B. C．2 D. 解析：　＝＋＋， ||＝||＝1＝||， 且·＝·＝·＝0. 又2＝(＋＋)2， 2＝3， AE的长为.故选B. 答案：　B 3．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　) A. B．1 C. D. 解析：　 如图，A1C1面ABCD， 所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与面ABCD所成的角是60°，AB＝1. BB1＝. 答案：　D 4.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　) A. B. C. D. 解析：　取B1C1的中点E，连结OE，则OEC1D1. ∴OE∥面ABC1D1， O点到面ABC1D1的距离等于E点到平面ABC1D1的距离． 过E作EFBC1，易证EF面ABC1D1 EF＝，点O到平面ABC1D1的距离为，故选B. 答案：　B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到BD的距离为________． 解析：　作AEBD于E，连结PE， PA⊥面ABCD. PA⊥BD ∴BD⊥面PAE BDPE， 即PE的长为点P到BD的距离 在RtPAE中，AE＝， PE＝＝. 答案：　 6．如图所示，在直二面角α－l－β中，A，Bl，ACα，ACl，BDβ，BDl，AC＝6，AB＝8，BD＝24，则线段CD的长为________． 解析：　AC⊥AB，BDAB，ACBD， ·＝0，·＝0，·＝0， ＝＋＋， 2＝(＋＋)2＝676， ||＝26. 答案：　26 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中棱长为1，利用向量法求点C1到A1C的距离． 解析：　 如图所示，以A点为坐标原点， 以AB、AD、AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(0,0,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,1)， 所以A1C的方向向量为＝(1,1，－1)，C1与直线A1C上一点C(1,1,0)的向量＝(0,0,1) 所以在上的投影为：·＝－. 所以点C1到直线A1C的距离d＝ ＝＝. 8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，棱长为a，E、F、G分别是CC1、A1D1、AB的中点，求点A到平面EFG的距离． 解析：　如图建立空间直角坐标系， 则A(a,0,0)，E，F，G， ＝， ＝， ＝， 设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量， 则， ，x＝y＝z，可取n＝(1,1,1)， d＝＝＝a. 即点A到平面EFG的距离为a.尖子生题库 9．(10分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB＝90°， 侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E使得点A1到平面AED的距离为？ 解析：　以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，B(0,2,0)， 设＝λ，λ(0,1)，则E(2λ，2(1－λ)，2λ)． 又＝(－2,0,1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)， 设n＝(x，y，z)为平面AED的法向量， 则， 取x＝1，则y＝，z＝2， 即n＝. 由于d＝＝， ＝ 又λ(0,1)，解得λ＝. 所以，存在点E且当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为.