2016-2017学年《金版学案》数学·人教A版选修2-1练习：3.2第3课时空间向量与空间角 Word版含解析.docVIP

第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第3课时 空间向量与空间角 A级　基础巩固 一、选择题三棱锥A-BCD中平面ABD与平面BCD的法向量分别为nn2，若〈nn2〉＝则二面角A-BD-C的大小为(　　)　　　　　　　　　 C.或或解析：只需搞清二面角的范围是[0π]．答案：(2014·课标全国Ⅱ卷)直三棱柱ABC-A中＝90°，M，N分别是A的中点＝＝则BM与AN所成角的余弦值为(　　) B. C. D. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系设BC＝2则B(0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以＝(1－1)，＝(－1)，故与所成角θ的余弦值θ＝＝＝ 答案：在正方体ABCD-A中是AB的中点则〈〉的值等于(　　) B. C. D. 答案：在矩形ABCD中＝1＝平面ABCD＝1则PC与平面ABCD所成角是(　　)解析：建立如图所示的空间直角坐标系则P(0)，C(1，，0)， ＝(1，－1)平面ABCD的一个法向量为n＝(0)， 所以〈n〉＝＝－所以〈n〉＝120所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60所以斜线PC与平面ABCD所成角为30答案：如图正方体ABCD-A的棱长为1是底面A的中心则O到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 解析：以D为坐标原点以DA所在直线分别为xy，z轴建立空间直角坐标系则有D(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．因O为A的中点所以O＝设平面ABC的法向量为n＝(x)，则有即取n＝(1) 所以O到平面ABC的距离为d＝＝＝答案：二、填空题如图在正方体ABCD-A中是C的中点是底面ABCD的中点是A上的任意点则直线BM与OP所成的角为________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系设正方体棱长为2则 O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)， ＝(1－1)，＝(－2)．所以＝0所以直线BM与OP所成角为答案：已知点A(1)，B(0，2，0)，C(0，0，3)则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．解析：＝(－1)，＝(－1)．设平面ABC的法向量为n＝(x)．由n·＝0＝0知令x＝2则y＝1＝所以平ABC的一个法向量为n＝平面xOy的一个法向量为＝(0)．由此易求出所求二面角的余弦值．〈n〉＝＝＝答案：在正方体ABCD-A中直线BC与平面A所成角的余弦值是．答案：三、解答题已知正方形ABCD的边长为1⊥平面ABCD且＝分别为AB的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．解：(1)建立以D为坐标原点分别为x轴轴轴的空间直角坐标系如图所示． 则P(0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F， ＝＝PEF的法向量n＝(x)， 则n·＝0且n·＝0所以令x＝2则y＝2＝3所以n＝(2)， 所以点D到平面PEF的距离为＝＝＝因此点D到平面PEF的距离为(2)因为＝所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝所以AC到平面PEF的距离为正三棱柱ABC-A的底面边长为a侧棱长为求ACABB1A1所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系则(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1， 法一：取A的中点M则M连接AM、MC有＝＝(0)， ＝(0a)．所以＝0·＝0所以，⊥， 则MC又AB∩AA＝A所以MC平面ABB所以∠C是AC与侧面A所成的角．由＝＝所以＝0＋＋2a＝|＝ ＝|＝ ＝所以〈〉＝＝所以〈〉＝30即AC与侧面ABB1所成的角为30法二：＝(0)，＝(0a)， ＝设侧面ABB的法向量n＝(λ)， 所以n·＝0且n·＝0.所以ax＝0且＝0.所以x＝y＝0.故n＝(λ)．因为＝所以〈n〉＝＝－所以|〈n〉|＝所以AC与侧面ABB所成的角为30级　能力提升如图所示已知点P为菱形ABCD外一点且PA⊥面ABCD＝AD＝AC点F为PC中点则二面角的正切值为(　　) A. B. C. D. 答案：正△ABC与正△BCD所在平面垂直则二面角A-BD-C的正弦值为________． 解析：取BC中O，连接AO建立如图所示的坐标系．设BC＝1则A，D. 所以＝＝＝由于＝为平面BCD的法向量．设平面ABD的法向量n＝(x)，则所以取x＝1则y＝－＝1所以n＝(1－)， 所以〈n〉＝〈n〉＝答案：如图矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直 BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90＝＝2.(1)求证：AE∥平面DCF；(2)当AB的长为何值时二面角A-EF-C的大小为60？解：建系如图 设AB＝a＝b＝c则C(0)，D(0，0，a)，F(0，c，