常微分方程的求解常微分方程的求解.pdfVIP

§1 引言 §2 Euler方法 §3 Runge －Kutta方法 8—1 常微分方程数值解法 §4 单步法的收敛性与稳定性 §5 线性多步法 §6 方程组与高阶方程的情况 §7 边值问题的数值解法 1 2 §1 引言 微分方程的应用情况 微分方程：关于一个未知函数的方程，方程中含 实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 有未知函数的（偏）导数，以及自变量等，其中 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在 关于未知函数导数的最高次数称为微分方程的 理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题 阶数. 的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来 例如：y (x ) −a(x )y +b(x )y +c(x ) 0 近似求解. 3 4 对于一个常微分方程： 同时，一个有解的微分方程通常会有无穷多个解 例如 dy y f (x , y ) , x ∈[a ,b ] dx dy cos(x) ⇒ y sin(x ) =+a,∀∈a R dx 为了使解存在，一般要对函数f 施加限制条件， 为了使解唯一，需要加入一个限定条件. 通常会 例如要求f 对y 满足 Lipschitz 条件： 在端点出给出，如下面的初值问题： f (x, y ) −f (x, y ) ≤L y −y 1 2 1 2