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§11.3 幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 内容小结 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 上页 下页 铃 结束 返回 首页 提示: 由定义在区间I上的函数列{un(x)}所构成的表达式 u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x)? ? ? ? 函数项级数 =u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x)? ? ? ? , x?I. 收敛点与发散点 提示: 对于每一个确定的值x0?I, 函数项级数成为常数项级数 u1(x0)?u2(x0)?u3(x0)? ? ? ? ?un(x0)? ? ? ?, 这个常数项级数或者收敛或者发散. 使函数项级数收敛的点x0称为函数项级数的收敛点; 使函数项级数发散的点x0称为函数项级数的发散点. 收敛点的全体称为收敛域, 发散点的全体称为发散域. 下页 函数项级数的和函数 函数项级数的部分和 和函数的定义域就是级数的收敛域. 在收敛域上, 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x), 它称为函数项级数∑un(x)的和函数, 并写成s(x)=∑un(x). 函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x), 即 sn(x)=u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x). 在收敛域上有sn(x)?s(x)(n??). 注: 下页 函数项级数的余项 函数项级数∑un(x)的余项记为rn(x), 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差: rn(x)?s(x)?sn(x). 在收敛域上有rn(x)?0(n??). 首页 函数项级数的和函数 函数项级数的部分和 和函数的定义域就是级数的收敛域. 在收敛域上, 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x), 它称为函数项级数∑un(x)的和函数, 并写成s(x)=∑un(x). 函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x), 即 sn(x)=u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x). 在收敛域上有sn(x)?s(x)(n??). 在函数项级数中, 形如 a0?a1x?a2x2? ? ? ? ?anxn? ? ? ? 的级数称为幂级数, 其中常数ai(i=1,2,? ? ?)叫做幂级数的系数. 幂级数 1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn ? ? ? ? , 幂级数举例: 说明: 幂级数的一般形式是 a0?a1(x-x0)?a2(x-x0)2? ? ? ? ?an(x-x0)n? ? ? ? . 这种形式经变换t=x-x0可化为上述定义形式. 下页 幂级数 1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn ? ? ? ? 是公比为x的几何级数. 因此它的收敛域为(-1, 1), 它在|x|?1时收敛, 在|x|?1时发散. 在收敛域内有 下页 在函数项级数中, 形如 a0?a1x?a2x2? ? ? ? ?anxn? ? ? ? 的级数称为幂级数, 其中常数ai(i=1,2,? ? ?)叫做幂级数的系数. 幂级数 幂级数举例: 二、幂级数及其收敛性 如果幂级数∑anxn当x?x0(x0?0)时收敛, 则适合不等式|x||x0|的一切x使幂级数∑anxn绝对收敛. 反之, 如果幂级数∑anxn当x?x0时发散, 则适合不等式|x||x0|的一切x使幂级数∑anxn发散. 注: ∑anxn是幂级数 的简记形式. 下页 |x||x0| |x||x0| |x||x0| 定理1(阿贝尔定理) 定理证明 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 如果幂级数∑anxn当x?x0(x0?0)时收敛, 则适合不等式|x||x0|的一切x使幂级数∑anxn绝对收敛. 反之, 如果幂级数∑anxn当x?x0时发散, 则适合不等式|x||x0|的一切x使