圆环上Dirichlet空间中的乘子.pdf

一、研究摘要 1. 论文标题 圆环上 Dirichlet 空间中的乘子 2. 背景介绍 解析函数空间上的算子一直是泛函分析中十分活跃的领域，它 将复变函数理论与空间理论相结合，产生了结构丰富的各类空间， 这些空间以及空间上的算子不仅为泛函分析提供了具体的例子，更 重要的是它在泛函分析与复分析之间架设了一座桥梁。将解析函数 的方法与技巧应用于泛函分析，不仅为泛函分析中一些重要问题提 供了重要的“影子”问题，同时也为解析函数的研究提供了新的思路 与方法，Hardy 空间理论的产生便是典型的例证。 经典解析函数空间主要研究复平面单位圆盘上的三类空间： Hardy 空间、Bergman 空间以及 Dirichlet 空间，其中 Hardy 空间理 论相对比较成熟，Bergman 空间理论也形成了比较丰富的理论。 Dirichlet 空间则是最近几十年大家比较感兴趣的一类空间，它将解 析函数结构与 Sobolev 空间结构有机结合，形成了一类结构非常复 杂的空间。事实上，有关 Dirichlet 空间理论以及该空间上算子的研 究还很不成熟，很多问题远比 Hardy 空间与 Bergman 空间复杂，一 些基本问题尚未解决。例如，在 Hardy 空间与 Bergman 空间上，符 号为 φ 的乘子 Mφ 是有界的当且仅当 φ 是有界的，然而在 Dirichlet 空间上，乘子的有界性迄今为止仍是悬而未决的问题。 单位圆盘是一类典型的单连通区域，其拓扑结构比较简单，圆 环则是典型的复连通区域，其拓扑结构比单位圆盘复杂。圆环上的 解析函数结构与单位圆盘上的解析函数结构也差别很大，前者有洛 朗级数展开，后者有幂级数展开。关于圆环甚至更复杂的复连通区 域上解析函数空间的研究尚不是很多，Sarason 的专著 《Hardy space on Annulus》标志着圆环上解析函数空间理论研究的开始。 乘子是解析函数空间上最简单的一类算子，也是结构十分丰富 的一类算子，一些重要理论的产生均源自该类算子。例如坐标乘子 的指标是指标理论的雏形，关于坐标乘子的不变子空间刻画的 Beurling 定理是 Hardy 空间理论中最重要的定理之一。然而，乘子 依然是结构尚不清楚的一类算子，特别是 Dirichlet 空间上的乘子尤 其复杂。 3. 亮点 本团队在大学教师的带领下，经过了两年基础知识的学习，查 阅了相关的参考资料，发现了一篇文章中存在的问题（如下图 1）。 在该文引理 2.1 证明的末尾，作者取 2 2 2 2 C=min{|a /a -λ| ,|a /a -λ| ,…,|a /a -λ| ,ε } 。 -1 0 0 1 K0-2 K0-1 然而由于|a /a -λ| （iK ）中可能有某些项等于 0，并不能保证常数 i-1 i 0 C 为正，一旦 C=0，算子的下方估计就是无效的。我们从寻求解决 该问题出发，找到了该引理的全新且完全初等的证明，而且这个证 明不仅适用于单位圆上的 Dirichlet 空间情形，对圆环上的 Dirichlet 空间也是适用的。此外，在圆环（对圆盘也适用）上的 Dirichlet 空 间情形解决了该文章中遗留的一个问题。 （图 1） 二、研究论文