数学七下第五章相交与平行(张老师数学系列).docVIP

第五章 相交线与平行线 第一部分 相交线、垂线 【知识要点】 （一）相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是：（1）角的顶点公共；（2）角的两边互为反向延长线；（3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质 对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 （二）垂线 1. 垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 图4 如图4所示，直线AB与CD互相垂直，垂足为点O，则记作AB⊥CD于点O。 其中“⊥”是“垂直”的记号；是图形中“垂直”(直角)的标记。 注意：垂线的定义有以下两层含义： （1）∵AB⊥CD（已知） （2）∵∠1＝90°（已知） ∴∠1＝90°（垂线的定义） ∴AB⊥CD（垂线的定义） 2. 垂线的性质 （1）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最短。 3. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 图5 图6 如图5所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 4. 垂线的画法（工具：三角板或量角器） 5. 画已知线段或射线的垂线 （1）垂足在线段或射线上 （2）垂足在线段的延长线或射线的反向延长线上 （三）“三线八角” 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 范例1. 判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。 （1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离； （2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； （3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直； （4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。 范例2. 如下图（1）所示，直线DE、BC被直线AB所截，问，各是什么角？ 图（1） 图（2） 范例3 如下图（1）， 图（1） （1）是两条直线_________________与_________________被第三条直线_________________所截构成的___________________角。 （2）是两条直线_______________与_________________被第三条直线____________________所截构成的________________角。 （3）_______________与___________________被第三条直线_________________________所截构成的_______________角。 （4）与6是两条直线_______________与_______________，被第三条直线______________________所截构成的________________角。 范例4按要求作图，并回答问题。 范例5作图题 范例6证明垂直 第二部分 平行线 知识要点：