数值计算第章 非线性方程求根.docVIP

第2章　非线性方程求根 　　与线性方程相比，非线性方程问题无论是从理论上还是从计算公式上，都要复杂得多。对于一般的非线性方程，计算方程的根既无一定章程可寻也无直接法可言。例如，求解高次方程组的根，求解含有指数和正弦函数的超越方程的零点。解非线性方程或非线性方程组也是计算方法中的一个主题。一般地，我们用符号来表示方程左端的函数，方程一般形式表示 为 ，方程的解称为方程的根或函数的零点。 　　通常，非线性方程的根不止一个，对于非线性方程，一般用迭代法求解。因此，在求解非线性方程时，要给定初始值或求解范围。 2.1　实根的对分法 　　2.1.1 使用对分法的条件 　　对分法或称二分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。设函数在上连续，且，则在上至少有一零点，这是微积分中的介值定理，也是使用对分法的前题条件。计算中通过对分区间、缩小区间范围的步骤有哪些信誉好的足球投注网站零点的位置。 　　例2.1 用对分法求解在区间之间的根。 　　解： 　　（1），，由介值定理可得有根区间。 　　（2）计算，有根区间。 　　（3）计算(1.5+2)/2=1.75，=0.078125，有根区间。 　　（4）一直做到（计算前给定的精度）或时停止。 　　2.1.2 对分法求根算法 　　计算的一般计算步骤如下： 　　1．输入求根区间和误差控制量，定义函数。 　　IF ?THEN 退出选用其他求求根方法 　　2．WHILE 时 　　（1）计算中点以及的值； 　　（2）分情况处理 　　　　：? 停止计算，转向步骤4 　　　　????修正区间 　　　　 ?? 修正区间 　　　　ENDWHILE 　　3．。 　　4．输出近似根。 　　图2.1给出对分法示意图 图2.1 对分法示意图 　　在算法中，常用代替的判断，以避免数值溢出。 　　对分法的算法简单，然而，若在是有几个零点时，只能算出其中一个零点；另一方面，即使在上有零点，也未必有。这就限制了对分法的使用范围。对分法只能计算方程的实根。 2.2　迭代法 　　对给定的方程，将它转达换成等价形式：。给定初值，由此来构造迭代序列，如果迭代法收敛，即，有，则就是方程的根。在计算中当小于给定的精度控制量时，取为方程的根。 　　例如，代数方程的三种等价形式及其迭代格式如下： 　　（1）迭代格式 　　（2），迭代格式 　　（3）迭代格式 　　对于方程构造的多种迭代格式，怎样判断构造的迭代格式是否收敛？收敛是否与迭代的初值有关？ 　　定理2.1 若定义在 上，如果满足 　　（1）当有有 　　（2）在上可导，并且存在正数，使对任意的，有； 　　则在上有惟一的点满足，称为的不动点。而且迭代格式对任意的初值均收敛于的不动点，并有误差估计式 　　　　　　　　??????????　　　　　(2.1) 　　证明：（1）先证明存在性：令，则有 　　故有，使得 　　　　 　　　　或 　　（2）再证明惟一性：设都是的不动点，且，则有 ? ? 　　与假设矛盾，这表明 ，即不动点是惟一的。 　　（3）当时，由于可用归纳法证明，迭代序列，于是由微分中值定理， 　　和，得 　　　　　 　　　　(2.2) 　　因为，所以当时，即迭代格式收敛。 　　（4）误差估计式： 　　设固定，对于任意的正整数有， 　　 　　 　　由于的任意性及，故有 ????? 注：定理2.1是判断迭代法收敛的充分条件，而非必要条件。 　　要构造满足定理条件的等价形式一般是难于做到的。事实上，如果 为的零点，若能构造等价形式而，由的连续性，一定存在的邻域，其上有，这时若初值迭代也就收敛了。由此构造收敛迭代式有两个要素，其一，等价形式应满足；其二，初值必须取自的充分小邻域，这个邻域大小决定于函数，及做出的等价形式。 　　例2.2 求代数方程，在附近的实根。 　　解：1） 　　　　　 　　，，当 　　构造的迭代序列收敛。取 则 　　　=2.08008,????? =2.09235,????? =2.094217 　　　　=2.094494,? ???=2.094543,???? =2.094550 　　准确的解是=2.09455148150 　　2）将迭代格式写为 　　?，当 　　迭代格式不能保证收敛。 2.3　迭代法的加工 　　对于收敛的迭代过程，只要迭代足够多次，就可以使结果达到任意的精度，但有时迭代过程收敛缓慢，从而使计算量变得很大，因此迭代过程的加速是个重要的课题。 　　以下介绍一种埃特金（Aitken）方法。 　　对方程，构造加速过程，算法如下： 　　（1）预测： 　　（2）校正： 　　（3）改进： 　　有些不收敛的迭代法，经过埃特金方法处理后，变得收敛了。 　　例2.3 求方程在附近的根。 　　解：若采用迭代公式： 迭代法是发散的，我们现在以这种迭代公式为基础形成埃特金算法： 　　取计算结果