常微分方程期末综合练习参考解答.docVIP

“常微分方程”课程综合练习参考解答 一、填空题 1．满足的条形区域 2．全平面 3． ，（或不含x 轴的上半平面） 4． 5．充分 6． 7． 8．， 9． 10．2 11．必要 12． 13． 14． 15． 16．恒等于零 17．线性无关 18．稳定焦点 19．不稳定结点 20． 21．， 22．齐次 23． 24． 25．不能 26．相切 27．满足的平面区域 28．任何一点不为零 29．n+1 30． 31．线性无关 二、单项选择题 1．C 2．D 3． B 4．B 5．A 6．C 7．D 8．A 9．C 10．C 11．B 12．C 13．D 14．C 15．A 16．A 17．B 18．D 19．C 20．A 21．D 22．B 23．C 24．C 25．C 26．A 27．D 28．D 29．A 30．B 31．B 32．B 三、计算题(求下列方程的通解或通积分) 1．解 齐次方程的通解为： 设原方程的通解为： 代入原方程，得 所以，原方程的通解为： 2．解 将方程改写为 令，则代入上式得 …… 分离变量积分得 原方程的通积分为： … 3．解 分离变量积分，得 4．解 ， 因此，原方程是全微分方程． 取，原方程的通积分为 或 即 5．解 因为，所以原方程是全微分方程． 取，原方程的通积分为 即 6．解 因为，所以原方程是全微分方程． 取，原方程的通积分为 即 7． 解 令，则，原方程的参数形式为 由，有 积分有： 得原方程参数形式通解 8．解 方程改写成 即 有 积分，得通积分： 9．解 积分因子为 原方程的通积分为： 即 10．解 原方程是恰当导数方程，可写成 即 分离变量解此方程，通积分为 11．解 特征方程 特征根 对应的特征向量为 对应的特征向量为 原方程的通解为： 12．解 特征方程 特征根为 。 和对应的特征向量分别是和 原方程组的通解是： 13．解 特征方程为 特征根 对应的特征向量为 对应的特征向量为 原方程组的通解为： 14．解 特征方程为 特征根 对应的特征向量分别为和 原方程组的通解为： 15．解 对应齐次方程的特征方程是 特征根为，齐次方程的通解为 因为是一重特征根．故非齐次方程有形如 的特解，代入原方程，得 ， 故原方程的通解为 16．解 对应齐次方程的特征方程为 特征根为 ，故齐次方程的通解为 由于是一重特征根，故原方程有形如为 的特解，代入原方程，得 ， 所以，原方程的通解为 17．解 先求出齐次方程的通解为：