高等数学第二章极限和导数2-4无穷小与无穷大.pptVIP

第三节 一、 无穷小的概念与性质 注 1° 2. 无穷小与函数极限的关系定理 2.4 3. 无穷小的性质 定理2.6 无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小 . 二、 无穷大 2. 几何意义 例2 证明 注 6° 7° 无穷大与无界的关系 3. 无穷小与无穷大的关系 例2-1 求 反例： 一、 无穷小的概念与性质 无穷小与无穷大 二、无穷大 第二章 定义2.3 若 时 , 则称函数 例如： 函数 x-1是 的无穷小; 函数 是 的无穷小; 为 时的无穷小 . 1. 无穷小的概念 称为当 的无穷小 . (4) 以零为极限的数列 都是 时的无穷小 . 函数 的无穷小. 是 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 2°不能笼统地说某函数是无穷小， 而应当说函数 是自变量趋向某个值时的无穷小. 例如，说 是无穷小”是不对的 ; 函数 当 时为无穷小. “函数 而应当说 ， 其中? 为 时的无穷小 . 证 当 时,有 对自变量的其它变化过程类似可证 . 意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 时, 有 定理2.5 有限个无穷小的和仍为无穷小. 证 考虑两个无穷小的和 . 设 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 注 1° 上述结论对于自变量的任一极限过程 (如：x ? ? )均成立； 例如， 2° 无穷多个无穷小之和不一定是无穷小 ! 推论 1 无穷小与常量的乘积是无穷小 . 推论 2 有限个无穷小的乘积仍是无穷小 . 例1 求 解 利用定理 2.6, 可知 注 y = 0 是 的水平渐近线 . 定义2.4 若? M 0 , 当 时， 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使得 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 (正数 X ) , 记作 ? 1. 无穷大的概念 证 ? M 0, 要使 只要 故取 则当 时， 有 即 渐近线 1° 不可把无穷大与很大的固定的数混为一谈, 无穷大是变量，而再大的固定的数也是常量； 3° 2°不能笼统地说某函数是无穷大， 而应当说 函数是自变量趋向某个值时的无穷大； 4° 5° 若在x的某一变化过程中，f (x)是无穷大，g(x)满足|g(x)|≥M(M0),则f (x) g (x)是无穷大。 若 则称直线 为曲线 的铅直渐近线 . 则 则 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 定理2.7 在自变量的同一变化过程中, 注 无穷小来讨论. 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系 内容小结 解 x →1 时, 分母 →0 , 故不能直接使用商的极限 法则,但其倒数的极限 由无穷大与无穷小的关系