广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 导数的应用下.docVIP

6．（下）导数的应用 一、已知函数为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）求函数在区间[0，1]上的最大值. 解：（Ⅰ） （i）当a=0时，令 若上单调递增； 若上单调递减. （ii）当a0时，令 若上单调递减； 若上单调递增； 若上单调递减. （Ⅱ）（i）当a=0时，在区间[0，1]上的最大值是 （ii）当时，在区间[0，1]上的最大值是. （iii）当时，在区间[0，1]上的最大值是 二、设曲线≥0）在点M（t,et）处与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）. （Ⅰ）求切线的方程； （Ⅱ）求S（t）的最大值. 解：（Ⅰ）因为所以切线的斜率为 故切线的方程为即. （Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得 所以S（t）== 从而 ∵当（0，1）时，0, 当（1,+∞）时,0, 所以S(t)的最大值为S(1)= 三、设函数其中常数m为整数. (1) 当m为何值时, (2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0. 试用上述定理证明:当整数m1时,方程f(x)= 0,在[e-ｍ-m ,e2ｍ-m ]内有两个实根. （I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且 当x∈(-m,1-m)时,f ’（x）0,f(x)为减函数,f(x)f(1-m) 当x∈(1-m, +∞)时,f ’（x）0,f(x)为增函数,f(x)f(1-m) 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且 对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0 (II)证明：由（I）知，当整数m1时，f(1-m)=1-m0, 函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续减函数. 由所给定理知，存在唯一的 而当整数m1时， 类似地，当整数m1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的 故当m1时，方程f(x)=0在内有两个实根。 四、如图，在△ＡＢＣ中，Ｂ（０，２）　Ｃ（０，－２）且 ． （Ⅰ）求△ＡＢＣ的顶点Ａ的轨迹c的方程． ）为曲线c上一点，求以Ｐ为切点的曲线c的 的方程（写出求解过程）. （Ⅲ）设Ｍ（x,），Ｎ（x-1,）分别为c与上的点，求向量 上的投影的最小值． 解：（１）由正弦定理得：，（除顶点外），方程为 （２），， 切线， ． （３），在上的投影为Ｙ＝＝，，令， 时，代人得不在曲线C上，故舍去，所以 ． 补充作业： 1.当时，证明不等式： 证明：令，，为减函数，而，，即 令，，为增函数，而，则有，，原命题得证。 2. 已知i，m，n是正整数，且，证明： 证明：且i，m，n为正整数, 设 则 由知，， ,f(x)是减函数 又, 即 3． 已知函数. （1）求函数的反函数的导数 （2）假设对任意成立，求实 数m的取值范围. 解：（1）； （2） 令： 所以都是增函数.因此当时，的最大值为的最小值为而不等式②成立当且仅当即，于是得 解法二：由得 设 于是原不等式对于恒成立等价于 ③…7分 由，注意到 故有，从而可均在 上单调递增，因此不等式③成立当且仅当 即 4．（选做）已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx. （Ⅰ）求函数f(x)的最大值； （Ⅱ）设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2. （Ⅰ）解：函数的定义域为. 令 当 当 又 故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0. （Ⅱ）证法一： 由（Ⅰ）结论知由题设 因此 所以 又 综上 证法二：设 则 当 在此内为减函数. 当上为增函数. 从而，当有极小值 因此 即 设 则 当 因此上为减函数.因为 即 O -２ Ｂ Ｃ x A y