【步步高】高考数学 考前三个月抢分训练26 三角函数.docVIP

训练26　三角函数 (推荐时间：75分钟) 1．已知sin α＝，α∈(0，)，tan β＝. (1)求tan α的值；(2)求tan (α＋2β)的值． 2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且1－＝，求cos 的值． 3．若函数f(x)＝sin2ax－sin axcos ax(a＞0)的图象与直线y＝m(m为常数)相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．(1)求m的值；(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈[0，]，求点A的坐标． 4.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.m＝(1,1)，n＝，且m⊥n. (1)求A的大小；(2)若a＝1，b＝c.求S△ABC. 5．设函数f(x)＝2sin xcos2＋cos xsin φ－sin x(0＜φ＜π)，在x＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知a＝1，b＝，f(A)＝，求角C. 6．(·福建)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 1．解　(1)∵sin α＝，α∈(0，)， ∴cos α＝＝＝. ∴tan α＝＝＝. (2)∵tan β＝，∴tan 2β＝＝＝. ∴tan (α＋2β)＝＝＝2. 2．解　由已知得 ＝， ∴＝， ∴2sin A－sin C＝2sin (B－C)， ∴2sin (B＋C)－sin C＝2sin (B－C)， 2sin Bcos C＋2cos Bsin C－sin C， ＝2sin Bcos C－2cos Bsin C， ∴4cos Bsin C＝sin C， 又sin C≠0，∴cos B＝. B为锐角． ∴cos ＝＝ 3．解　(1)f(x)＝(1－cos 2ax)－sin 2ax ＝－(sin 2ax＋cos 2ax)＋ ＝－sin (2ax＋)＋ ∵y＝f(x)的图象与y＝m相切． ∴m为f(x)的最大值或最小值． 即m＝或m＝. (2)又因为切点横坐标依次成公差为的等差数列， 所以f(x)最小正周期为. 又T＝＝，a＞0， 所以a＝2. 即f(x)＝－sin＋ 令sin ＝0，则4x0＋＝kπ(k∈Z) x0＝－. 由0≤－≤π及k∈Z. 得k＝1,2,3， 因此对称中心点A的坐标为、、. 4．解　因为m⊥n，所以－sin Bsin C＋cos Bcos C＝0， 所以cos (B＋C)＝－，即cos A＝， 因为A为△ABC的内角，所以0Aπ， 所以A＝. (2)若a＝1，b＝c.由余弦定理得 b2＋c2－a2＝2bccos A，所以得c2＝1， 所以S△ABC＝bc·sin A＝c2＝. 5．解　(1)∵f(x)＝2sin xcos2 ＋cos xsin φ－sin x ＝2sin x·＋cos xsin φ－sin x ＝sin x＋sin xcos φ＋cos xsin φ－sin x ＝sin xcos φ＋cos xsin φ＝sin (x＋φ) 又∵f(x)在x＝π处取最小值． ∴sin (π＋φ)＝－1. 又∵0＜φ＜π，∴φ＝. (2)由(1)知f(x)＝sin (x＋)＝cos x. ∵f(A)＝，∴cos A＝. 又∵A是三角形的内角，∴A＝. 又∵a＝1，b＝，∴由正弦定理得 sin B＝＝＝. 又∵a＜b，∴B＝或B＝， 当B＝时，C＝； 当B＝时，C＝. ∴C＝或. 6．解　方法一　(1)如图(1)，设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 S＝ ＝ 图(1) ＝. 故当t＝时，Smin＝10， 此时v＝＝30. 即小艇以30 海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2)设小艇与轮船在B处相遇，则 v2t2＝400＋900t2－2×0t×cos(90°－30°)， 故v2＝900－＋. ∵0v≤30，∴900－＋≤900， 即－≤0，解得t≥. 又t＝时，v＝30. 故v＝30时，t取得最小值，且最小值为. 此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇． 图(2) 方法二　(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇(如图