人教版数学中考专题复习 正方形的计算和证明问题课后练习.docVIP

正方形的计算和证明问题专项练习 1. 提出问题： （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH； 类比探究： （2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由； 综合运用： （3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积。 2. 如图1，点为正方形的中心。 （1）将线段绕点逆时针方向旋转，点的对应点为点，连，，，请依题意补全图1； （2）根据图1中补全的图形，猜想并证明与的关系； （3）如图2，点是中点，△是等腰直角三角形，是的中点，，，，△绕点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中的最大值。 3. 如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）。点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动。连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D。BD与y轴交于点E，连接PE。设点P运动的时间为t（s）。 （1）∠PBD的度数为　　，点D的坐标为　　（用t表示）； （2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？ （3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值。 正方形的计算和证明问题专项练习 参考答案1.（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH。 ∴∠HAO+∠OAD=90°。 ∵AE⊥DH， ∴∠ADO+∠OAD=90°。 ∴∠HAO=∠ADO。 ∴△ABE≌△DAH（ASA）， ∴AE=DH。 （2）EF=GH。将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF。 将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH。 ∵EF⊥GH， ∴AM⊥DN， 根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH； （3）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD ∴∠AHO=∠CGO ∵FH∥EG ∴∠FHO=∠EGO ∴∠AHF=∠CGE ∴△AHF∽△CGE ∴ ∵EC=2 ∴AF=1 过F作FP⊥BC于P， 根据勾股定理得EF=， ∵FH∥EG， ∴ 根据（2）知EF=GH， ∴FO=HO。 ∴， ， ∴阴影部分面积为。 2. 解： （1）正确画出图形（2）延长交于点，交于点∵为正方形的中心， ∴，∠＝90 ∵绕点逆时针旋转90角得到 ∴ ∴∠＝∠＝90 ∴∠＝∠ 在△和△中， ，，∠＝∠，[来源:学科网] ∴△≌△ ∴ ∴∠＝∠ ∵∠+∠ ∴∠+∠=90 ∴⊥ （3）的最大值为 3. 解：（1）如图1， 由题可得：AP=OQ=1×t=t∴AO=PQ。 ∵四边形OABC是正方形， ∴AO=AB=BC=OC，[来源:学科网] ∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°。 ∵DP⊥BP， ∴∠BPD=90°。 ∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ。 ∵AO=PQ，AO=AB， ∴AB=PQ。 在△BAP和△PQD中， [来源:Z_xx_k.Com] ∴△BAP≌△PQD。 ∴AP=DQ，BP=PD。 ∵∠BPD=90°，BP=PD， ∴∠PBD=∠PDB=45°。 ∵AP=t， ∴DQ=t。 ∴点D坐标为（t，t）。 故答案为：45°，（t，t）。 （2）①若PB=PE， 则∠PBE=∠PEB=45°。 ∴∠BPE=90°。 ∵∠BPD=90°， ∴∠BPE=∠BPD。 ∴点E与点D重合。 ∴点Q与点O重合。 与条件“DQ∥y轴”矛盾， ∴这种情况应舍去。 ②若EB=EP， 则∠PBE=∠BPE=45°。 ∴∠BEP=90°。 ∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC。 在△POE和△ECB中， ∴△POE≌△ECB。 ∴OE=BC，OP=EC。[来源:学#科#网Z#X#X#K] ∴OE=OC。 ∴点E与点C重合（EC=0）。 ∴点P与点O重合（PO=0）。 ∵点B（﹣4，4）， ∴AO=CO=4。 此时t=4。 ③若BP=BE， 在Rt△BAP和Rt△BCE中， ∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）。 ∴AP=CE。 ∵AP=t， ∴CE=t。 ∴PO=EO=4﹣t。 ∵∠POE=90°， ∴PE= =（4﹣t）。 延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示。[来源:学|科|网] 在△FAB和△ECB中， ∴△FAB≌△ECB。 ∴FB=EB，∠FBA=∠EBC。 ∵∠EBP=45°，∠ABC=90°， ∴∠ABP+∠EBC