《数学物理方程与特殊函数2版》第2章培训讲解.ppt

第二章 分离变量法;分离变量法的基本思想, 特点与关键步骤; 分离变量法适用于波动问题、输运问题和稳定场问题在特殊域 矩形、长方形 (直角坐标系) 圆、圆柱体 (柱坐标系) 圆球 (球坐标系) 中的定解问题, 因为这些特殊域正好常常在实际问题中出现, 这是分离变量法有广泛的应用的原因.;§2.1 有界弦的自由振动;§2.1.1 齐次方程及齐次边界条件的定解问题;将式 u(x,t)＝X(x)T(t) 代入泛定方程(2.1.1), 得;将式(2.1.4)代入边界条件(2.1.2),可得;2.求解本征值问题;;(3)若l 0,方程的通解为;3. 求解T(t) 的常微分方程;4. 作特解的线性叠加;特解(2.1.11)一般不满足初始条件(2.1.3), 实际上由式(2.1.11)可得;但考虑到方程(2.1.1)及边界条件(2.1.2)都是齐次线性的, 因此将所有的特解线性叠加起来,如果级数收敛, u(x,t)仍然满足方程(2.1.1)与边界条件(2.1.2)；由此得 而待定系数Cn和Dn可由初始条件来确定.; 5. 由初始条件确定系数 将式(2.1.14)代入初始条件, 即有;6.解的物理意义;;回顾求解过程，可将分离变量法的解题步骤总结如下 ;;【例2.1.2】 设长为l 的均匀杆，两端绝热, 杆内初始温度分布为j(x), 求杆内温度随时间的变化规律;1. 分离变量; 同样，将l的取值分三种情况讨论;(2) 若l ＝ 0, 这时方程成为X (x) ＝ 0, 它的通解为 X(x) ＝ Ax+B 由边界条件X (0) ＝ 0, 得A＝ 0, 故 X(x) ＝ B， ? X(l) ＝ 0 因而对B没有任何限制． 为方便起见，取B ＝ 1，并记作 X0(x) ＝1 (2.1.28) B若取零，则得平庸解，不予考虑 若 l ＝ 0, X0(x) ＝ 1 ;(3)若l 0,方程的通解为;综合式(2.1.28)及式(2.1.29)，本征值与本征函数为;4. 作特解的线性叠加;5. 由初始条件确定系数;6. 解的物理意义;表11-1在本征函数展开法中有重要的作用 ; 这两个例题可得出 X(x) + l X(x) ＝ 0 在不同的齐次边界条件下的本征函数系(表2-1). 容易发现如下的规律: (1)若齐次边界条件含X(0)＝0，则本征函数为正弦函数；若齐次边界条件含X‘ (0) ＝ 0，则本征函数为余弦函数 (2)若边界条件为同类齐次边界条件(均为第一类或均为第二类)，则本征函数的宗量为 若边界条件属不同类齐次边界条件，则本征函数???宗量为 ;;;【例3】求两端固定弦的强迫振动的规律; (2) 将u(x,t)及方程的非齐次项f(x,t)按本征函数系 展开;将式(11.1.39)代入式(11.1.38)得; (3)将两级数代入泛定方程 求展开系数Tn(t);由常数变易法可求得;§2.5 具有非齐次边界条件的问题;设定解问题为;(1)设解u(x,t) ＝ v(x,t)+w(x, t)，为了让v(x, t)满足齐次边界条件，适当选取w(x,t)，使它满足u(x,t)的边界条件 w(0,t)＝u1(t)， w(l,t)＝u2(t) (11.1.51) 既然w(x,t)要满足式(11. 1. 51)的两个方程，为了确定w(x,t) ，通常引入两个待定函数A(t)和B(t).两者最简单的结合就是 w(x,t) ＝ A(t)x + B(t) (11.1.52) 将w(x,t)代入式(11.1.51)，求出A(t)和B(t)，得 ; (2)求解v(x,t)的定解问题;;【例11.1.4】求定解问题;(2) v(x,t)的定解问题为;总之;谢谢!