传热学第四章导热问题的数值解法(704KB).pptVIP

（a）平直边界 （b）外部角点 （c）内部角点 二、处理不规则区域的阶梯型逼近法 计算区域中出现曲线边界或倾斜边界，常用阶梯型的折线来模拟真实边界，然后再用上述方法建立边界节点的离散方程。 三、求解代数方程的迭代法 2）迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法，称迭代计算收敛。 代数方程组的求解有两种方法： 1）直接解法 通过有限次运算获得精确解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。 1）高斯——赛德尔迭代法：每次迭代计算，均是使用节点温度的必威体育精装版值。 设有一三元方程组： 其中 （i=1,2,3 ；j=1,2,3）及 是已知的系数（均不为零）及常数。 1.高斯——赛德尔迭代法：每次迭代计算，均是使用节点温度的必威体育精装版值。 采用高斯——赛德尔迭代法的步骤： （1）将三元方程变形为迭式方程： （2）假设一组解（迭代初场），记为： 并代入迭代方程求得第一 次解 每次计算均用必威体育精装版值代入。 （3）以新的初场重复计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，计算终止。 2.迭代是否收敛的判据： k及k+1表示迭代次数； —第k次迭代得到的最大值 当有接近于零的t 时，第三个较好 3.迭代能否收敛的判据 1）对于一个代数方程组，若选用的迭代方式不合适，有可能导致发散，即称迭代过程发散； 2）对于常物性导热问题，组成的差分方程组，迭代公式的选择应使一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和，此时，用迭代法求解代数方程一定收敛。 3）采用热平衡法导出差分方程时，若每一个方程都选用导出该方程中心节点的温度作为迭代变量，则上述条件必满足，迭代一定收敛。 这一条件数学上称主对角线占优（对角占优）； 满足对角占优的条件：82+1；51+2；42+1，所以迭代能收敛 例题 取初始迭代值为0，计算中间值如下表所示 例题 针肋如右图所示，碳钢 ?=43.2W/(m.K)，求其温度分布及换热量。 解： 以上是精确解，现在我们用数值方法求解： 该问题的数学描述为 节点2： 同理得节点3 节点4 用热力学第一定律，导入的热量应等于对流散出的热量，固有： 网格划分如右图： 得 三种情况的计算结果如下 温度分布 热量计算： 误差 精确解 ?=15.06 W 四节点 ? =11.94 W 21% 三节点 ? =10.52 W 30% 如取5 节点, 则? 的误差为 19% X 0 10 15 20 30 175 139.5 127.9 119.7 113.4 175 139.8 120.13 113.8 175 128.13 114.29 § 4-4 非稳态导热问题的数值解法 非稳态项 扩散项的处理方法与前一样 空间坐标 x 1?N ?x 空间步长 数学描述 区域离散化 建立节点物理量的代数方程 设立迭代初场 求解代数方程组 解的分析 时间坐标 ? 1?I ? ? 时间步长 （n,i）代表了时间空间区域中的一个接点位置 t(i)n 将温度函数 t 在节点（n,i+1）和（n,i-1）对点（n,i）作泰勒级数展开 从第一式得出 向前差分 从第二式得出 二级数相减得到 中心差分 向后差分 常物性一维非稳态问题，时间向前，空间中心 第一式称为显示格式 explicit finite difference scheme 第二式不能写成类似形式， 称为隐示格式 implicit finite difference scheme 边界节点的处理 对该元体应用能量守恒定律 式中 称网格傅里叶数 一维无限大平板 边界 内节点 * * * * * * * * * * 第四章　热传导问题的数值解法 Numerical Met